Задача 13029 Решите неравенство...

vk207618185

19.01.2017

Решите неравенство log(12)(x^2+2x-3)*log((2x-2)/x)12 меньше или равно log(2-2/x)(x^2-5x+6)

Решите неравенство log3(x^2/81)*log(1/3)(x/9) меньше или равно 3log2(x/9)/log23

SOVA

19.01.2017

★

1)ОДЗ:
{x^2+2x-3 > 0 ⇒ (-∞;-3)U(1;+∞)
{(2x-2)/x > 0 ⇒ (-∞;0)U(1;+∞)
{(2x-2)/x≠1 ⇒ x≠2
{x^2-5x+6 > 0⇒ (-∞;2)U(3;+∞)

х∈ (-∞;-3)U(1;2)U(3;+∞)

log_(12)(x^2+2x-3)*log_((2x-2)/x)12 - log_((2x-2)/x)(x^2-5x+6) меньше или равно 0;
log_(12)(x^2+2x-3)*log_((2x-2)/x)(12/(x^2-5x+6)) меньше или равно 0
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств ( см. приложение)
(x^2+2x-3-1)*(((2x-2)/x)-1)(12/(x^2-5x+6)-1) меньше или равно 0;
(x^2+2x-4)*((x-2)/x)*(6+5x-x^2)/(x^2-5x+6) меньше или равно 0;
Применяем метод интервалов.
(х^2+2x-4)*(x-2)*(x+1)(x-6)/x*(x-2)(x-3) больше или равно 0;
х^2+2x-4=0
D=4+16=20
x=-1-sqrt(5) или х=-1+sqrt(5)
Знак + на интервалах
(-∞;-1-sqrt(5))U(-1;0)U(-1+sqrt(5);2)U(2;3)U(6;+∞)
C учетом ОДЗ получаем ответ.
(-∞;-1-sqrt(5))U(1;2)U(6;+∞)
2) ОДЗ: х > 0
По формуле логарифма частного
log_(3)(x^2/81)=log_(3)x^2 -log_(3)81=2log_(3)x - 4

По формуле перехода к другому основанию

log_(1/3)(x/9)=log_(3)(x/9)/log_(3)(1/3)=-log_(3)(x/9)=
=-log_(3)x+log_(3)9=2-log_(3)x

log_(2)(x/9)/log_(2)3=log_(3)(x/9)=log_(3)x-log_(3)9=log_(3)x-2


Неравенство принимает вид:
(2log_(3)x-4)*(2-log_(3)x) меньше или равно log_(3)x-2.
Замена переменной
(2-log_(3)x)*(2log_(3)x-3)меньше или равно 0.
3/2 меньше или равно log_(3)x меньше или равно 2
3sqrt(3) меньше или равно х меньше или равно 9.
С учетом ОДЗ, получаем ответ.
О т в е т. [3sqrt(3);9]