Задача 12996 Найдите все a, при каждом из которых...
Условие
Решение
{3x-4 > 0 ⇒x > 4/3;
{3x-4≠1 ⇒x≠7/3
{a+9x+5 > 0 , так как 4/3 < x меньше или равно 2,значит 17 < 9х+5 меньше или равно 23;
17+a < a+9x+5 меньше или равно 23+а ⇒
17+а больше или равно 0 ⇒
а больше или равно -17
По определению логарифма
(3x-4)^(-1)=a+9x+5
или
так как х > 4/3
1=(3x-4)*(a+9x+5)
27x^2+(3a-21)x-4a-21=0
Переформулируем задачу: при каком значении параметра а квадратное уравнение имеет ровно один корень на (4/3;2]
1) если D=0 и х(вершины)∈(4/3;2] (см. рис.1)
2) если уравнение имеет два корня, т.е D > 0 и один из корней:х_(1)∈(4/3;2] или х_(2)∈(4/3;2]
(см. рис.2 и рис. 3)
1) D=(3a-21)^2+4*27(4a+21)=
=9a^2-126a+441+432a+2268=
=9a^2+306a+2709 > 0 при любом а, значит уравнение всегда имеет два корня.
2) Обозначим f(x)=27x^2+(3a-21)x-4a-21
Если х_(1)∈(4/3;2],то f(4/3) < 0, f(2) > 0
Если х_(2)∈(4/3;2], то f(4/3) > 0, f(2) < 0
Оба условия можно объединить в одно
f(4/3)*f(2) < 0
Находим
f(4/3)=48+4a-28-4a-21=-1 < 0
f(2)=108+6a-42-4a-21=2a+45
2a+45 > 0 ⇒ a > -22,5
C учетом ОДЗ
О т в е т. a∈[-17;+ ∞)
