Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 12816 Известно, что если сумма каких-либо трёх...

Условие

Известно, что если сумма каких-либо трёх натуральных чисел делится на nn, то и сумма седьмых степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

математика 10-11 класс 659

Решение

Дано: (a+b+c):n
Доказать (a^7+b^7+c^7):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^7+b^7+c^7)-(a+b+c)=
=(a^7-a)+(b^7-b)+(c^7-c)

Достаточно показать, что
a^7-a кратно n
a^7-a=a(a^6-1)=a*(a^3-1)*(a^3+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^2+a+1)*(a^2-a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.
Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 7 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^7-a кратно 6*7=42
О т в е т. n=42
как-то так.
Может и больше есть число, надо посмотреть на что делятся (a^2+a+1)*(a^2-a+1)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК