Задача 12730 Интеграл xarctg(x)ln(1+x^2)dx...
Условие
Решение
u=arctgx*ln(1+x^2)⇒
du=(ln(1+x^2)+2x*arctgx)dx/(1+x^2);
dv=xdx⇒ x^2/2.
∫=(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2) - -(1/2)∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)-∫x^3*arctgxdx/(1+x^2).
Считаем сначала
∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)=[прибавим к x^2 1 и отнимем 1]=
∫ln(1+x^2)dx -∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2).
Cчитаем
∫ln(1+x^2)dx по частям
u=ln(1+x^2) ⇒ du=2xdx/(1+x^2);
dv=dx ⇒ v=x.
∫ln(1+x^2)dx=x*ln(1+x^2)-2 ∫x^2dx/(1+x^2) =
==x*ln(1+x^2)-2x+2arctgx.
Итак,
∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)=x*ln(1+x^2)-2x+2arctgx-∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2).
Последний интеграл не считаем, он впоследствии с таким же интегралом со знаком + даст 0.
Считаем второй интеграл.
∫x^3*arctgxdx/(1+x^2)=∫х*arctgxdx-∫x*arctgxdx/(1+x^2).
Считаем
∫х*arctgxdx по частям
u=arctgx ⇒ du=dx/(1+x^2);
dv=xdx ⇒ x^2/2
∫х*arctgxdx=x^2*arctgx/2-(1/2)*∫x^2dx/(1+x^2)=
= x^2*arctgx/2-(1/2)x+(1/2)*arctgx.
Cчитаем
∫x*arctgxdx/(1+x^2) по частям.
u=arctgx⇒ du=dx/(1+x^2);
dv=xdx/(1+x^2)=(1/2)ln(1+x^2)
∫x*arctgxdx/(1+x^2) =
(1/2)*arctgx*ln(1+х^2)-(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2)
Итак,
∫x^3*arctgxdx/(1+x^2)=∫х*arctgxdx-∫x*arctgxdx/(1+x^2)= x^2*arctgx/2-(1/2)x+(1/2)*arctgx-
-(1/2)*arctgx*ln(1+х^2)+(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2)
Снова появился интеграл, о котором было сказано выше.
Окончательный ответ.
∫=(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2) - -(1/2)∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)-∫x^3*arctgxdx/(1+x^2)=
=(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2)-
-(1/2)*x*ln(1+x^2)+x-arctgx+(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2)-x^2*arctgx/2+(1/2)x-(1/2)*arctgx+
+(1/2)*arctgx*ln(1+х^2)-(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2)=
(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2)-
-(1/2)*x*ln(1+x^2)+(3x/2)-(3arctgx/2)-(1/2)*(x^2*arctgx)+(1/2)*arctgx*ln(1+х^2) + С.
О т в е т. (x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2)-
-(1/2)*x*ln(1+x^2)+(3x/2)-(3arctgx/2)-(1/2)*(x^2*arctgx)+(1/2)*arctgx*ln(1+х^2) + С.