Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 12674 ...

Условие

Найдите наименьшее значение выражения

sqrt(2+2x^2-2x)+sqrt(2+2x^2-2xsqrt(3))

математика 10-11 класс 2607

Решение

Обозначим у=sqrt(2+2x^2-2x)+sqrt(2+2x^2-2sqrt(3)x).
Пусть f(x)=sqrt(2+2x^2-2x),
g(x)=sqrt(2+2x^2-2sqrt(3)x),
тогда
у=f(x)+g(x)
Функция у=f(x) определена при любом х:
2+2x^2-2x > 0 при любом х, так как дискриминант квадратного трехчлена D=4-16 < 0
Функция у=g(x) определена при любом:
2+2x^2-2sqrt(3)x > 0 при любом х, так как дискриминант квадратного трехчлена D=12-16 < 0.

Функция у=f(x) принимает наименьшее значение в точке х=1/2, так как подкоренное выражение принимает наименьшее значение в точке х=1/2
(2+2x^2-2x)`=4x-2
4x-2=0
x=1/2
f(1/2)=sqrt(2+2*(1/2)^2-2*(1/2))=sqrt(3/2) > 1

Функция у=g(x) принимает наименьшее значение в точке х=sqrt(3)/2, так как подкоренное выражение принимает наименьшее значение в точке х=sqrt(3)/2
(2+2x^2-2sqrt(3)x)`=4x-2sqrt(3)
4x-2sqrt(3)=0
x=sqrt(3)/2
sqrt(2+2*(sqrt(3)/2)^2-2*(sqrt(3)/2)*sqrt(3))=
=sqrt(1/2) < 1.

Сумма двух функций f(x)+g(x) принимает наименьшее значение в том случае, когда
f(x)=1+a,
g(x)=1-a
см. рисунок
у(наименьшее)=1+а+1-а=2
О т в е т. 2

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК