Задача 12627 Мистер Фокс загадал натуральное число....

veron01101

28.12.2016

Мистер Фокс загадал натуральное число. Лёша возвел число Фокса в квадрат, а Боря возвел число Фокса в куб. Мистер Форд посчитал суммарное число цифр у чисел, которые получили Лёша и Боря. Какой результат мог получить Форд?

SOVA

10.01.2017

★

Пусть мистер Фокс задумал (m+1)-значное число N, т.е.
10^m ≤ N < 10^(m+1).
Возводим неравенство в квадрат
10^(2m) ≤ N^2 < 10^(2m+2)
Значит в числе N^2 количество десятичных знаков от 2m+1 до 2m+2 десятичных знака.
Возводим неравенство для числа N в куб.
10^(3m) ≤ N^3 < 10^(3m+3).
Количество десятичных знаков в числе N^3 от 3m+1 до 3m+3.

Складываем
10^(2m)+10^(3m)≤ N^2 + N^3 < 10^(2m+2)+10^(3m+3)
Значит в сумме квадрата числа N и куба числа N
от (2m+1)+(3m+1)= 5m+2 до (2m+2)+(3m+3)=5m+5
десятичных знаков.
Значит, остатки от деления суммарного числа цифр на 5 равны 2;3;4 и 0.
Для ответа на вопрос задачи предложенные числа надо разделить на 5 и посмотреть на остатки. Подходят те, которые дают остатки 2;3;4 или 0.