Задача 12548 На основании AD трапеции ABCD отмечена...

vk177754812

25.12.2016

На основании AD трапеции ABCD отмечена точка F. Оказалось, что AB = BF и FC=CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABF, FCD, BFC равны 3, 8 и 6 соответственно. Найдите отношение AF:FD.

SOVA

25.12.2016

★

Пусть AB=BF=a; FС=CD=b
Высота трапеции h=BK=CT

Треугольник АВF – равнобедренный.
Высота СК делит сторону AF пополам
АК=КF=х
Треугольник FCD – равнобедренный.
Высота СT делит сторону FD пополам
FT=TD=y
Поэтому BC=x+y=AD/2
Запишем площади треугольников по формулам
S=r*p, S– площадь треугольника , р – полупериметр
S=a*h/2
и получим систему трех уравнений с четырьмя переменными.

{2х*h/2=3*(2x+2a)/2;
{2y*h/2=8*(2y+2b)/2;
{(x+y)*h/2=(a+b+x+y)*6/2.

или
{х*h=3x+3a;
{y*h=8y+8b;
{(x+y)*h/2=3a+3b+3x+3y.

Складываем первое и второе
{(x+y)*h=3x+8y+3a+8b;
{(x+y)*h/2=3x+3y+3a+3b.

Вычитаем из первого второе:
(x+y)*h/2=5y+5b ⇒ y+b=(x+y)*h/10
так как y*h=8y+8b, то
(х+у)*h/10=y*h/8
или
8*(x+y)=10y
8x=2y
x/y=2/8=1/4
О т в е т. АF:FD=x:y=1:4.