Задача 12521 ...

slava191

24.12.2016

Даноу равнение sin2x=3(sinx+cosx-1).

А) Решите уравнение.
Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [1,5;6]

SOVA

24.12.2016

★

sin2x=3(sinx+cosx–1)
A) Замена переменной
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2
1+sin2x=t^2
sin2x=t^2-1
Уравнение принимает вид
t^2-1=3t-3;
t^2-3t+2=0
D=9-8=1
t1=1 или t2=2
sinx+cosx=1
Решаем методом вспомогательного угла.
Делим уравнение на sqrt(2)^
(1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2)cosx=1/sqrt(2)

sin(x+(π/4))=1/sqrt(2)
x+(π/4)=(π/4)+2πk, k∈Z или x+(π/4)=(3π/4)+2πn, n∈Z
x=2πk, k∈Z или x=(π/2)+2πn, n∈Z

k=0 х=0∉ [1,5;6]
k=1 x=2π > 6 и 2π∉ [1,5;6]

при n=0
x=(π/2)∈[1,5;6], так как π > 3 ⇒π/2 > 1,5
О т в е т.
А)2πk, (π/2)+2πn, k, n∈Z.
Б)(π/2)∈[1,5;6].