Задача 12367 А) Решите уравнение...

Cool.kisyla

19.12.2016

А) Решите уравнение cos2x-sqrt(2)sin(Pi/2-x)+1=0
Б) Найдите всё корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4Pi;-5Pi/2]

SOVA

19.12.2016

По формулам приведения
sin((п/2)–x)=cosx
По формуле двойного угла
сos2x=2cos^2x–1
Уравнение принимает вид:
2сos2x–√2cosx=0
cosx·(2cosx–√2)=0
cosx=0 или cosx=√2/2
x=(π/2)+πk, k∈Z или х=±(π/4)+2πn, n∈Z

Б) Отбор корней с помощью неравенств:
–4π≤(π/2)+πk≤–5π/2 делим на π⇒
–4 ≤(1/2)+k ≤–5/2 прибаввляем ко всем чстям (–1/2):
–4,5 ≤ k ≤–3
k=–4; k=–3
x=(π/2)–4π=–7π/2∈[–4π;–5π/2];
x=(π/2)–3π=–5π/2∈[–4π;–5π/2];

–4π≤(π/4)+2πn≤–5π/2 делим на π ⇒
–4 ≤(1/4)+2n ≤–5/2 прибавляем (–1/4)
–4целых1/4 ≤2n ≤(–5/2)–(1/4);
–17/4 ≤2n ≤–11/4;
–17 ≤8n ≤–11;
n=–2
x=(π/4)–4π=–15π/4∈[–4π;–5π/2]


–4π≤(–π/4)+2πn≤–5π/2⇒
–4 ≤(–1/4)+2n ≤–5/2;
–4+(1/4) ≤2n ≤(–5/2)+(1/4);
–15/4 ≤2n ≤–9/4;
–15 ≤8n ≤–9;
нет таких целых n.

О т в е т. A)(π/2)+πk, ±(π/4)+2πn, k, n∈Z
Б)–7π/2;–15π/4;–5π/2 – корни, принадлежащие
отрезку [–4π;–5π/2];