Задача 12343 Вычислить определенный интеграл ...
Условие
Решение
(2+3∛х)^2=4+12 ∛х+9∛(х^2)
f(x)=(4+12 ∛х+9∛(х^2))/x^2=4x^(-2)+12x^((1/3)-2)+9x^((2/3)-2)=
=4x^(-2)+12x^(-5/3)+9x^(-4/3)
∫^8_1(4x^(-2)+12x^(-5/3)+9x^(-4/3))dx=(4x^(-1)/(-1)+12x^((-5/3)+1)/((-5/3)+1)+9x^((-4/3)+1)/((-4/3)+1))|^8_1=(-4/x)-(18/∛(х^2))-(27/∛х)|^8_1=(-4/8)-(18/4)-(27/2)+4+18+27=
Замена
х=sint
1-x^2=1-sin^2t=cos^2t
sqrt(1-x^2)=cost
dx=costdt
Неопределенный интеграл
∫dx/(x^2sqrt(1-x^2))=∫costdt/(sin^2tcost)=
=∫dt/sin^2t=-ctgt
Так как x=sint, то cost=sqrt(1-x^2)
ctgt=cost/sint= sqrt(1-x^2)/x
Значит первообразная f(x)=1/(x^2sqrt(1-x^2))
есть F(x)=sqrt(1-x^2)/x
Определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница равен
sqrt(1-x^2)/x)|^(sqrt(3)/2)_(1/2)=(1-(3/4))/(sqrt(3)/2)-(1-(1/4)/(1/2)=(1/(2sqrt(3)))-1/2