Задача 12303 ...
Условие
Решение
При х→+∞ и х→-∞ f(x) → + ∞
Другими словами "ветви" графика направлены вверх
(как у параболы).
Точки пересечения с осью ох
х=0 - корень кратности 2
Существование других точек зависит от квадратного трехчлена
3x^2-8ax+6(a^2-1)
D=(-8a)^2-4*3*6(a^2-1)=64a^2-72a^2+72=72-8a^2
Если D=0, при a=3 или а=-3 график функции у=f(x) принимает вид как на рисунке 1.
При а=-3
f(x)=x^2*(3x^2+24x+48)
f`(x)=12x*(x^2+6x+8)
x^2+6x+8=0
D=36-32=4
x=(-6-2)/2=-4 x=(-6+2)/2=-2
___-___ (-4) _+_ (-2) __-__ (0) _+__
x=-2 - точка максимума при а=-3
При а=3
f(x)=x^2*(3x^2-24x+48)
f`(x)=12x*(x^2-6x+8)
x^2-6x+8=0
D=36-32=4
x=(6-2)/2=2 x=(6+2)/2=4
___-___ (0) _+_ (2) __-__ (4) _+__
x=2 - точка максимума при а=3
Если D < 0, при a < -3 и a > 3 график функции у=f(x) принимает вид как на рисунке 2.
Функция не имеет экстремумов.
Если D > 0, т.е при -3 < a < 3
график функции у=f(x) принимает вид как на рисунке 3 или 4.
Квадратный трехчлен
3x^2-8ax+6(a^2-1)
имеет две точки пересечения с осью ох
(4a-sqrt(18-2a^2))/3 и (4a+sqrt(18-2a^2)/3
f`(x)=12x*(x^2-2ax+a^2-1)
при а=0 x=0- точка максимума(рис.3)
или
x^2-2ax+a^2-1=0
D=4a^2-4a^2+4=4
x=а-1 или х=а+1
Если 0 < a < 3, расставим знаки производной
___-__ (0) __+__ (a-1) __-__(a+1)__+_
х=a-1 - точка максимума.
Если -3 < a < 0, расставим знаки производной
___-__ (a-1) __+__ (a+1) __-__(0)__+_
х=a+1 - точка максимума.
О т в е т.
при а∈(-∞;-3)U(3;+∞) нет экстремумов
при a=-3 x=-2
при a∈(-3;0) х=a+1
при а=0 х=0
при а ∈(0;3) х=а-1
при а=3 х=2