Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 12221 Составить уравнения прямых, проходящих...

Условие

Составить уравнения прямых, проходящих через точку P(-5;2) на одинаковых расстояниях от точек A(-2;-2) и B(-3;5).

математика 10-11 класс 2321

Решение

Расстояние от точки M(x_(o),y_(o)) до прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 вычисляется по следующей формуле:
d = |Ax_(o)+ By_(o) + C|/sqrt(A^2 + B^2)
Кроме того, по условию, эта прямая проходит через точку Р (3, 5) т. е.
-5A + 2В + С = 0
Так как расстояния от точек А и В до прямой равны, то:
|-2A -2B + C|/sqrt(А^2 + В^2) = |-3A +5B + C|/sqrt(A^2 + B^2)
или
|-2A -2B + C| = |-3A +5B + C|
Раскрываем модули, если оба подмодульных выражения одного знака, то:
1) -2A -2B + C = -3A +5B + C ⇒ A = 7B
если разных знаков, то
2) -2A -2B + C = 3A - 5B - C ⇒ -5A + 3B + 2C=0
С учетом принадлежности точки Р данной прямой
получаем системы:
1)
{-5A + 2В + С = 0
{A = 7B
-35B + 2В + С = 0
Выразим неизвестные А и В через С и подставим в полученные значения в уравнение прямой:
B=C/33
A=7C/33

Тогда уравнение прямой Ах+Ву+С=0 принимает вид
7Cx/33 + Cy/33 + C = 0
или
7х + у +33 = 0

2)
{-5A + 2В + С = 0
{-5A + 3B + 2C=0
Вычитаем из второго уравнения первое
В+С=0 ⇒ В=-С
5А=2В+С
5А=-С ⇒ А=-С/5

Тогда уравнение прямой Ах+Ву+С=0 принимает вид
-Cx/5 - Cy + C = 0
или
х +5 у -5 = 0
О т в е т. 7х + у + 33 = 0 и х + 5у -5 = 0.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК