Задача 12132 Помогите решить примеры из 2-го номера....
Условие
Решение
{log_(6)(x^2+x)/(x+4)≥0⇒(x^2+x)/(x+4)≥1
{(x^2+x)/(x+4)≥0
1≤(x^2+x)/(x+4)≤6 ⇒
{(x^2-5x-24)/(x+4)≤0
{(x^2-4)/(x+4)≥0
Рассмотрим два случая:
{x+4 > 0
{x^2-5x-24≤0
{x^2-4≥0
___(-4) __[-3]\\\\[-2]___[2]///[8]___
x∈[-3;-2]U[2;8]
или
{x+4 < 0 \\\\(-4) __[-3]___[-2]||||[2]__ [8]___
{x^2-5x-24≥0
{x^2-4≤0
система не имеет решений.
О т в е т. x∈[-3;-2]U[2;8]
б){x > 0;
{log_(2)(3*2^(x-1)-1)≥0
или
{x < 0;
{log_(2)(3*2^(x-1)-1)≤0 так как 0=log_(2)1 и логарифмическая функция с основанием 2 возрастает
{x > 0;
{(3*2^(x-1)-1)≥1 х∈(1+log_(2)2/3;+∞)
или
{x < 0;
{(3*2^(x-1)-1)≤1 x∈(-∞;0)
О т в е т ((-∞;0)U(1+log_(2)2/3;+∞)
в) Два случая
1){0 < x < 1, показательная функция убывает
{2-4log_(2)x+log^2_(2)x > -1
2){x > 1, показательная функция возрастает
{2-4log_(2)x+log^2_(2)x < -1
{0 < x < 1, показательная функция убывает
{log_(2)x < 1 или log_(2)x > 3
2){x > 1, показательная функция возрастает
{1 < log_(2)x < 3
{0 < x < 1, показательная функция убывает
{x < 2 или x > 8
2){x > 1, показательная функция возрастает
{2 < x < 8
О т в е т. (0;1)U(2;8)
г)Два случая
1){2^x+3*2^(-x) > 1, тогда показ. функция возрастает
{2log_(2)x-log_(2)(x+6) > 0
или
2){0 < 2^x+3*2^(-x) < 1, тогда показ. функция убывает
{2log_(2)x-log_(2)(x+6) < 0
Так как 2^x > 0,
1){(2^x)^2-2^(x)+3 > 0, при любом х D < 0
{log_x^2/(x+6) > log_(2)1
или
2)(2^x)^2+3 > 0 при любом х
{(2^x)^2-2^(x)+3 < 0, не выполняется ни каких х
{{log_x^2/(x+6) > log_(2)1
x^2/(x+6) > 1⇒ (x^2-x-6)/(x+6) > 0
_-__ (-6) _+_ (-2) _-__ (3) _+__
О т в е т. (-6:-2)U(3;+∞)
д) два случая
1){x-2 > 1, лографим. функция возрастает
{x^2-8x+15 > 1 ⇒ (x-4)^2 > 0 при всех х, кроме 4
2)0 < x-2 < 1,логарифм. функция убывает
{x^2-8x+15 < 1 - нет решений
1) {x > 3
{x≠4
О т в е т. (3;4)U(4;+∞)
e)Два случая
1) {x > 1, лог. функция возрастает
{log_(9)3^x-9)≤x⇒3^x-9≤9^x⇒(3^x)^2-(3^x)+9≥0
D=1-4*9 < 0
О т в е т. 1) x > 1
2){0 < x < 1, лог.функция убывает
{log_(9)(3^x-9)≥x⇒(3^x)^2-(3^x)+9≤0- не имеет решений
О т в е т. х > 1
ж) Замена переменной log_(3)(x^2-3x+4)=t;
log_(9)(x^2-3x+4)=(1/2)log_(3)(x^2-3x+4)=t/2.
Неравенство примет вид
sqrt(t/2) > t-1
1){t-1≥0
{t/2 > (t-1)^2⇒2t^2-5t+2 < 0
1≤t < 2 ⇒ 1≤log_(2)(3x^2-4x+2) < 2⇒
2≤3x^2-4x+2 < 4
{3x^2-4x-2 < 0⇒((2-sqrt(10))/3;(2+sqrt(10))/3)
{3x^2-4x≥0 ⇒ x≤0 или х≥4/3
О т в е т. 1) ((2-sqrt(10))/3;0]U[4/3;(2+sqrt(10))/3)
2){t-1 < 0
{t > 0
0 < t < 1 ⇒0 < log_(2)(3x^2-4x+2) < 1⇒
0 < 3x^2-4x+2 < 1
{3x^2-4x+1 < 0 D=4
{3x^2-4x+2 > 0 D < 0
О т в е т. 2)(1/3;1)
О т в е т. ((2-sqrt(10))/3;0]U (1/3;1)U[4/3;(2+sqrt(10))/3)