Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 12107 В двух шахтах добывают алюминий и...

Условие

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 80 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 200 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

математика 10-11 класс 10577

Решение

Чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава, необходимо поставлять на завод алюминия в два раза больше чем никеля.
Пусть х рабочих занято на производстве алюминия на 1-й шахте, тогда (80-х) рабочих занято на производстве никеля.
Так как каждый рабочий работает 5 часов и производит 1 кг алюминия в час или 2 кг никеля в час,то на первой шахте производится
1*5*x кг алюминия
2*5*(80-х) кг никеля
На второй шахте также каждый рабочий работает 5 часов и производит в час 2 кг алюминия или 1 кг никеля, то на второй шахте производится
2*5*y кг алюминия
1*5*(200-у) кг никеля.

(1*5*х+2*5*у) кг произведенного алюминия должно быть в два раза больше
(2*5*(80-х)+1*5*(200-у)) кг никеля.
Уравнение
(1*5*х+2*5*у)=2*(2*5*(80-х)+1*5*(200-у))
или
25х+20у=3600
5х+4у=720
Это линейная зависимость, она достигает максимума
либо при х=0, либо при х= 80
тогда у=180, либо у=80

При х=0 объем произведенного металла
2*5*80+2*5*180+1*5*(200-180)=2700 кг металла
При х=80 объем произведенного металла
1*5*80+2*5*80+1*5*(200-80)=1800 кг
О т в е т. 2700 кг

Вопросы к решению (3)

Все решения

Задача относится к задачам линейного программирования со смешанными ограничениями.
Математическая модель задачи.
1) 0≤x≤80,
2) 0≤y≤200,
3) 5x+4y=720,
4) Z(x,y)=1•5•x+2•5•(80-x)+2•5•y+1•5•(200-y)=-5x+5y+1800→max.
Учитывая, что x≥0, следовательно 5x≥0, из (3) получаем y≤180.
Окончательная модель задачи:
1) 0≤x≤80,
2) 0≤y≤180,
3) 5x+4y=720,
4) Z(x,y)=-5x+5y+1800→max.
Исключая из (3)-(4) переменную x, приходим к задаче на экстремум функции Z(y)=9y+1080 на отрезке 0≤y≤180.
Zmax=Z(180)= 2700
При х=0 и y=180, объем произведенного металла 2700 кг.
О т в е т. 2700 кг
Рисунок к задаче приведен совершенно правильный.
Экономическая интерпретация решения.
На первой шахте все 80 рабочих должны добывать никель в количестве 2•5•(80–0) кг. = 800 кг.
На второй шахте 180 рабочих добудут 2•5•180 кг. = 1800 кг. алюминия и 20 рабочих добудут 1•5•(200–180) кг. = 100 кг никеля.
В результате будет добыто 900 кг. никеля и 1800 кг. алюминия, что соответствует условию задачи – алюминия в два раза больше никеля.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК