Задача 12092 Дан треугольник T_1 со сторонами...

Lizakor

09.12.2016

Дан треугольник T_1 со сторонами 3000,~4000,~5000. В него вписана окружность. В неё вписан треугольник T_2 со сторонами, параллельными сторонам T_1. В него также вписана окружность. В неё вписан треугольник T_3 со сторонами, параллельными сторонам T_2 и т.д. Найти периметр треугольника T_5.

SOVA

09.12.2016

★

Треугольник Т_(1) - прямоугольный
5000^2=3000^2+4000^2.

Пусть с_(1)=5000;a_(1)=4000; b_(1)=3000
(cм. рисунок)
По свойству касательной к окружности, отрезки касательных равны.
Легко получить формулу r вписанной окружности через стороны а,b и с
r_(1)=(4000+3000-5000)/2=1000
c_(2)=2r_(1)=2000
Треугольник Т_(2) подобен треугольнику Т_(1)
с_(2):с_(1)=a_(2):a_(1)=b_(2):b_(1)
b_(2)=6000/5=1200
a_(2)=8000/5=1600
r_(2)=(1600+1200-2000)/2=800

c_(3)=2r_(2)=1600
Треугольник Т_(3) подобен треугольнику Т_(1)
с_(3):с_(1)=a_(3):a_(1)=b_(3):b_(1)
b_(3)=4800/5=960
a_(3)=6400/5=1280
r_(3)=(1280+960-1600)/2=320

c_(4)=2r_(3)=640
Треугольник Т_(4) подобен треугольнику Т_(1)
с_(4):с_(1)=a_(4):a_(1)=b_(4):b_(1)
b_(4)=640*3/5=384
a_(4)=640*4/5=512
r_(4)=(512+384-640)/2=128

c_(5)=2r_(4)=256
Треугольник Т_(5) подобен треугольнику Т_(1)
с_(5):с_(1)=a_(5):a_(1)=b_(5):b_(1)
b_(5)=256*3/5=153,6
a_(5)=256*4/5=204,8
Р(Т_(5))=204,8+153,6+256=614,4
О т в е т. 614,4