Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 12024 ...

Условие

В правильной четырёхугольной призма АВСDA1B1C1D1 сторона основания АВ=4√2, а боковое ребро АА1=8, М средняя линия ребра А1В1. На ребре DD1 отмечена точка L так, что DL=2. Плоскость альфа параллельна прямой А1С1 и содержит точки М и А.

а) Докажите, что прямая BL перпендикулярна плоскости альфа

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точки В, а основание -сечение данной пирамиды плоскостью альфа.

математика 10-11 класс 4110

Решение

а)
В основании призмы квадрат АВСD,
АC^2=BD^2=АВ^2+ВС^2=(4sqrt(2))^2+(4sqrt(2))^2=32+32=64
AC=BD=8

МК||A1C1, МК- средняя линия треугольника А1В1С1.
МК=А1С1/2=АС/2=4

Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому сечение AMKC пересекает плоскости оснований по прямым АС и МK, которые параллельны.

Cечение призмы - равнобедренная трапеция АМКС.

Из прямоугольного треугольника АА1М по теореме Пифагора
АМ^2=AA^2_(1)+A1M^2=8^2+(2sqrt(2))^2=64+8=72
AM=6sqrt(2)

АС⊥BD
BD- проекция BL.
По теореме о трех перпендикулярах BL⊥AC.

NO⊥AC ( NO - высота h трапеции АМКС)
BL⊥AC,
BL⊥NO ⇒ BL⊥AMKC

б)Сечение AMKC — трапеция,
S( трапеции АМКС)=1/2·(АС+МК)·h
Из прямоугольного треугольника АМF:
MF^2=AM^2-AF^2
h=MF=sqrt(72-4)=sqrt(68)=2sqrt(17)

1/2·(4+8)·2sqrt(17)=12sqrt(17).
Из прямоугольного треугольника BLD по теореме Пифагора
BL^2=BD^2+DL^2=8^2+2^2=68
BL=sqrt(68)=2sqrt(17)
H=BL/2=sqrt(17)

V(пирамиды BAMKC)=1/3·S( трапеции AМКС)·H=
1/3·12sqrt(17)·sqrt(17)=68.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК