а) Докажите, что прямая BL перпендикулярна плоскости альфа
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точки В, а основание -сечение данной пирамиды плоскостью альфа.
В основании призмы квадрат АВСD,
АC^2=BD^2=АВ^2+ВС^2=(4sqrt(2))^2+(4sqrt(2))^2=32+32=64
AC=BD=8
МК||A1C1, МК- средняя линия треугольника А1В1С1.
МК=А1С1/2=АС/2=4
Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому сечение AMKC пересекает плоскости оснований по прямым АС и МK, которые параллельны.
Cечение призмы - равнобедренная трапеция АМКС.
Из прямоугольного треугольника АА1М по теореме Пифагора
АМ^2=AA^2_(1)+A1M^2=8^2+(2sqrt(2))^2=64+8=72
AM=6sqrt(2)
АС⊥BD
BD- проекция BL.
По теореме о трех перпендикулярах BL⊥AC.
NO⊥AC ( NO - высота h трапеции АМКС)
BL⊥AC,
BL⊥NO ⇒ BL⊥AMKC
б)Сечение AMKC — трапеция,
S( трапеции АМКС)=1/2·(АС+МК)·h
Из прямоугольного треугольника АМF:
MF^2=AM^2-AF^2
h=MF=sqrt(72-4)=sqrt(68)=2sqrt(17)
1/2·(4+8)·2sqrt(17)=12sqrt(17).
Из прямоугольного треугольника BLD по теореме Пифагора
BL^2=BD^2+DL^2=8^2+2^2=68
BL=sqrt(68)=2sqrt(17)
H=BL/2=sqrt(17)
V(пирамиды BAMKC)=1/3·S( трапеции AМКС)·H=
1/3·12sqrt(17)·sqrt(17)=68.