Задача 12020 При каких значениях параметров p и q ...

SOVA

04.12.2016

При каких значениях параметров p и q неравенство
|x^2+px+q| > 2
не имеет решений на отрезке[1;5]?

Задачу можно переформулировать так:
при каких значениях параметров p и q неравенство
|x^2+px+q| меньше или равно 2
выполняется при любых х∈[1;5]?

Так как неравенство |x^2+px+q| меньше или равно 2 можно записать как двойное неравенство
-2 меньше или равно x^2+px+q меньше или равно 2
или
как систему двух неравенств:
{x^2+px+q меньше или равно 2;
{x^2+px+q больше или равно -2.

Пусть f(x)=x^2+px+q

Возможны три случая
1)
{-p/2 < 1 - вершина параболы слева от отрезка [1;5]
{f(5) меньше или равно 2;
{f(1)больше или равно -2;

2)
{-p/2 > 1 -вершина параболы справа от отрезка [1;5]
{f(5)больше или равно -2;
{f(1) меньше или равно 2;

3)
{1 < -p/2 < 5 -вершина параболы внутри отрезка [1;5]
{f(5)меньше или равно 2;
{f(1) меньше или равно 2;
{f(-p/2) больше или равно -2;

Так как
f(1)=p+q+1
f(5)=25+5p+q
f(-p/2)=(-p^2/4)+q, то

1)
{p > - 2
{23+5x+y меньше или равно 0;
{x+y+3 больше или равно 0;

2)
{p < - 2
{27+5x+y больше или равно 0;
{x+y-1 меньше или равно 0;

3)
{-10 < p < - 2
{23+5x+y меньше или равно 0;
{x+y-1 меньше или равно o;
{q-(p^2/4)+2 больше или равно 0.

Строим на координатной плоскости pOq множества точек, удовлетворяющих каждой системе.

1) нет решений;
2) нет решений;
3) (-6;7)


Ответ: p=-6; q=7