Задача 11942 Показательные уравнения 1....

5678t

30.11.2016

Показательные уравнения

1. 4^(x^2-8x+12)=1/64

2. 2^(2x)-14*2^x-32=0

SOVA

30.11.2016

★

1) 4^(x^2-8x+12)=4^3;
x^2-8x+12=3;
x^2-8x+15=0;
D=64-60=4
x_(1)=3; x_(2)=5
2)Замена переменной 2^x=t, t > 0;2^(2x)=t^2
t^2-14t-32=0
D=(-14)^2-4*(-32)=196+128=324=18^2
x_(1)=(14-18)/2=-2 не удовл. условию t > 0
x_(2)=(14+18)/2=16
2^x=16
2^x=2^4
x=4
3)2^(x+1)*(1-2^(x+3-x-1))=-12;
2^(x+1)*(1-2^2)=-12;
2^(x+1)*(-3)=-12
2^(x+1)=4;
2^(x+1)=2^2
x+1=2
x=1
4)2^(4x-3)*(2^3-3-2^2)=512;
2^(4x-3)*1=2^9
4x-3=9
4x=12
x=3
5)x^2+(3x/4)=t
4x^2+3x=4t
4^(4t)-2=16^t
((4^2))^(2t)-2=16^t
Замена
16^t=z
z^2-z-2=0
D=1+8=9
z_(1)=-1 z_(2)=2
16^t=2
(2^4)^t=2
4t=1
4*(x^2+(3/4)x)=1
4x^2+3x-1=0
D=9+16=25
x_(1)=-1; x_(2)=1/4
6)(4^(-1))^(2x+1)*4^(x+3)=4^(-3);
4^(-2x-1+x+3)=4^(-3);
4^(-x+2)=4^(-3);
-x+2=-3
-x=-5
x=5
7) 5^(2x+5)+5^(2x)=2^(x+4)-2^(x+3);
5^(2x)*(5^5+1)=2^x*(2^4-2^3);
25^x*3126=2^x*8
(25/2)^x=8/3126
x=log_(25/2)(4/1563)
8) sqrt(8+3sqrt(7))*sqrt(8-3sqrt(7))=1
Замена
(sqrt(8+3sqrt(7)))^x= t; (sqrt(8-3sqrt(7)))^x=1/t
t+(1/t)=16
t^2-16t+1=0
D=256-4=252=(6sqrt(7))^2
t_(1)=8-3sqrt(7) или х_(2)=8+3sqrt(7)

(sqrt(8+3sqrt(7)))^x= 8-3sqrt(7)
(sqrt(8+3sqrt(7)))^x= (sqrt(8+3sqrt(7)))^(-1)
х=-1
или
(sqrt(8+3sqrt(7)))^x= (sqrt(8+3sqrt(7)))
х=1

9) 5^(sqrt(x+1))=t;
25^(sqrt(x+1))=t^2.

25t^2-126t+5=0
D=126^2-4*25*5=15876-500=15376=124^2
t=(126-124)/50=1/25 или t=(126+124)/50=5
5^(sqrt(x+1))=1/25
sqrt(x+1)=-2 - уравнение не имеет смысла.
Слева положительное выражение, справа отрицательное число.
Нет корней
5^(sqrt(x+1))=5
sqrt(x+1)=1
x+1=1
x=0.

10) Пропорция. Перемножаем крайние и средние члены пропорции:
7*5^x-14*5^(-x)=3*5^x+6*5^(-x);
4*5^x=20*5^(-x)
5^x=5*5^(-x)
5^x=5^(1-x)
x=1-x
2x=1
x=1/2