Задача 11816 ...
Условие
Б)Найти корни, принадлежащие отрезку [-3π;4π]
Решение
sinx-cosx=t.
Возводим обе части в квадрат
sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x=t^2;
1-sin2x=t^2;
sin2x=1-t^2.
Уравнение примет вид:
t^2-2t+1=0
t=1
Возвращаемся к переменной х
sinx-cosx=1
Применяем формулы двойного угла
2sin(x/2)*cos(x/2)-cos^2(x/2)+sin^2(x/2)=sin^2(x/2)+cos^(x/2)
2cos(x/2)*(sin(x/2)-cos(x/2))=0
cos(x/2)=0
x/2=(π/2)+πk, k∈Z
x=π+2πk, k∈Z
или
sin(x/2)-cos(x/2)=0
tg(x/2)=1
(x/2)=(π/4)+πn, n∈Z
x=(π/2)+2πn, n∈Z
А) О т в е т. π+2πk, (π/2)+2πn, k, n∈Z
Б) Указанному промежутку принадлежат корни
-3π; -3π/2; -π; π/2; π; 5π/2; 3π
(см. рисунок)
Ответ: А) π+2πk, (π/2)+2πn, k, n∈Z Б) -3π; -3π/2; -π; π/2; π; 5π/2; 3π