Задача 11803 Найдите точку минимума: 1) y=...
Условие
1) y= (x+y)e^(x-3)
2) y= ( x^2 - 10 x+10)e^(x-47)
3) y= (2x^2 - 28x+28)e^(8-x)
Точку максимума:
y=(2x^2 -17x+17)e^(x+17)
Наименьшее значение:
1) у=5x-ln (x+7)^5 на отрезке [-6, 5; 0]
2) у= 2x-2ln (x+5)-14 на [-4, 5; 0]
3) y= 3x-ln (3x)-15 на [1\4;1/2]
Решение
=e^(x-47)*(x^2-8x)
y`=0
x=0 или х=8
_+_ (0) _-_ (8) _+__
x=8 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.
3) y`= (4x-28)*e^(8–x)+(2x^2-28x+28)*e^(8-x)*(8-x)`
=e^(8-x)*(4x-28-2x^2+28x-28)=
=e^(8-x)*(-2x^2+32x-56)
y`=0
-2x^2+32x-56=0
x^2-16x+28=0
D=256-112=144
x=2 или х=14
Знак производной:
_-__ (2) ___+__ (14) __-__
х=2 -точка минимума, производная меняет знак с - на +
y`=(4x-17)+e^(x+17)+(2x^2 –17x+17)e^(x+17)=
=e^(x+17)*(4x-17+2x^2-17x+17)=
=e^(x+17)*(2x^2-13x)
x=0 или х=6,5
__+_ (0) __-_ (6,5) _+__
x=0 - точка максимума
1)y=5x-5ln(x+7)
у`=5–(5/(x+7))=35/(x+7) > 0 на отрезке [–6, 5; 0]
Функция возрастает.
y(-6,5)=5*(-6,5)-5ln(0,5)- наименьшее значение функции на указанном отрезке.
2) у= 2x–2ln (x+5)–14
y`=2-(2/(x+5))=10/(x+5) > 0 на [–4, 5; 0]
у(-4,5)=2*(-4,5)-2ln(0,5)-14 наименьшее значение функции на указанном отрезке.
3) y= 3x–ln (3x)–15
y`=3-(3/3x)=(3x-1)/3x
y`=0
x=1/3
1/3 ∈ [1/4;1/2]
[1/4]___-__ (1/3) __+__ [1/2]
х=1/3- точка минимума
у(1/3)=3*(1/3)-ln(3*(1/3))-15=1-0-15=-14 - наименьшее значение функции на указанном отрезке