Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 11785 В основании правильной пирамиды с...

Условие

В основании правильной пирамиды с вершиной S лежит шестиугольник ABCDEF со стороной 14. Плоскость Pi параллельна ребру АВ, перпендикулярна плоскости DES и пересекает ребро ВС в точке К, так что ВК : КС = 3:4. Кроме того, прямые, по которым Pi пересекает плоскости BCS и AFS, параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью Pi от грани CDS.

математика 10-11 класс 4143

Решение

В основании правильный шестиугольник, состоящий из шести равносторонних треугольников со стороной 14.
Высота равностороннего треугольника равна h=14sqrt(3)/2=7sqrt(3).
(cм. рис.3)
Так как ВК:КС=3:4, то ВК=6; КС=8
Из подобия
KG=GM=10
GO=8*h/14=8*7sqrt(3)/14=4sqrt(3)
Cечение имеет вид (см. рис. 4), поэтому LN=NT=10

Треугольник SOF подобен треугольнику SNT.
OF:NT=SO:SN=14:10=7:5
Обозначим SО=7k; SN=5k; NO=2k

Прямоугольные треугольные SNH, GNO и SOR подобны по двум углам.
Обозначим
∠SNH=∠GNO=∠SRO=α ( см. рис.1)
Из треугольника GNO: tgα=GO/NO=4sqrt(3)/2k=2sqrt(3)/k
Из треугольника SOR:tgα=SO/OR=7k/7sqrt(3)=k/sqrt(3)
приравниваем правые части и получаем
k=sqrt(6)
tgα=sqrt(2)
cosα=1/sqrt(3)
sinα=sqrt(2/3)

Из треугольника SOR
cosα=OR/SR
SR=7sqrt(3)/(1/sqrt(3))=21 - апофема боковой грани
SO=7k=7sqrt(6)
SH=SN*sinα=5sqrt(6)*sqrt(2/3)=10

SQ:SE=SH:SR=10:21 ( PQ || DE)

Из треугольника SOF
SF^2=SO^2+OF^2=(7sqrt(6))^2+14^2=490
SF=7sqrt(10)- боковое ребро пирамиды.

S(Δ SFE)=14*21/2=147;
SQ=10SE/21=10SF/21=10sqrt(10)/3
SF:ST=OF:NT=7:5
ST=5SF/7=5sqrt(10)
S(ΔSTQ):S(ΔSFE)=ST*SQ/SF*SE=
=ST*SQ/SF^2=500/(3*490)=50/147;
S(ΔSTQ)=(50/147)*147=50
S(ΔSTQ)=S(ΔSLP))=50
О т в е т. 50



Ошибки в решение (1)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК