Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 11783 Две окружности касаются внутренним...

Условие

Две окружности касаются внутренним образом в точке Т. Хорда АВ внешней окружности касается внутренней окружности в точке S. Прямая TS пересекает внешнюю окружность в точках Т и С. Найдите площадь четырёхугольника ТАСВ, если известно, что СВ = ВТ = 3, а радиусы окружностей относятся как 5 : 8.

математика 10-11 класс 9880

Решение

Пусть k - коэффициент пропорциональности радиусов, тогда R=8k; r=5k.
O-центр окружности радиуса 5k, Р- центр окружности радиуса 8k.
Точки О,Р,Т лежат на одной прямой.
SO=OT=5k
CP=PT=8k
Равнобедренные треугольники SOT и СРТ подобны, угол СТО- общий.
РТ=РО+ОТ
8k=PO+5k⇒ PO=3k
OT:TP=TS:TC=5k:8k=5:8,
TS:CS=TO:OP=5:3 ( по теореме Фалеса) или
СS:ST=3:5

SO⊥AB
CP || SO, значит СР || SO и СP⊥AB
CP- диаметр.
Диаметр перпендикулярный хорде делит хорду пополам.
AF=FB.
CF- высота и СF- медиана, треугольник АСВ - равнобедренный АС=СВ.

По условию ВС=ВТ, равные хорды стягивают равные дуги.

∠САВ=∠ВАТ=∠СТВ=∠ВСТ как углы опирающиеся на равные дуги.
и
∠СВА=∠СТА ( доказано, АС=ВС)

Значит, АВ- биссектриса угла А и
по свойству биссектрисы угла треугольника САТ
СS:ST=CA:АТ
По доказанному ранее
СS:ST=3:5
значит
СА:АТ=3:5
и так как СА=3, значит АТ=5

∠САВ=∠ВАТ, внутренние накрест лежащие углы и значит
ВС||AT.

Четырехугольник ТАСВ - равнобедренная трапеция.
h=sqrt(3^2-1)=sqrt(80
S(трапеции)=(ВС+АТ)*h/2=(3+5)*sqrt(8)/2=4sqrt(8)=8sqrt(2)
О т в е т. S(TABC)=8sqrt(2)

Все решения

Решение от МГУ

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК