Задача 11773 Дан прямоугольный треугольник АВС....

slava191

23.11.2016

Дан прямоугольный треугольник АВС. Окружность с центром на катете АС касается гипотенузы АВ и пересекает катет ВС в точке Р так, что ВР : РС = 2 : 3. Найти отношение радиуса окружности к длине катета ВС, если АС : ВС = 4 : 5.

SOVA

23.11.2016

★

Cм. обозначения и вычисления на рисунке.
Найдем отношение r/BC=r/5x.

Получаем зависимость между х и r.
По теореме Пифагора из треугольника АВС
АВ^2=AC^2+BC^2
(0,8r+4x)^2=(4x)^2+(5x)^2
0,64r^2+6,4rx-25x^2=0
или
16t^2+160t-625=0, где t=r/x.

D=(16*10)^2-4*16*(-25*25)=
=1600*(16+25)=(40sqrt(41))^2
=64*164/100
тогда
r/x=(-160+40qrt(41))/32=5*((sqrt(41)/4) -1)
второй корень отрицательный и не удовл условию задачи.

r/5x=(sqrt(41)/4)-1

О т в е т.0,25sqrt(41)-1