Задача 11687 ...
Условие
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 7π/2].
Решение
Все решения
sin2x=2*sinx*cosx
2*sinx*cosx+sqrt(3)sinx=0
sinx*(2cosx+sqrt(3))=0
sinx=0 или 2cosx+sqrt(3)=0
x=πk, k∈Z или сosx=-sqrt(3)/2
x=± arccos(-sqrt(3)/2)+2πn, n∈Z
x=± (π- arccos sqrt(3)/2)+2πn, n∈Z
x=± (π- (π/6))+2πn, n∈Z
x=± (5π/6))+2πn, n∈Z
О т в е т. а)πk; ± (5π/6))+2πn, k, n∈Z
б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 7π/2].
Для этого составим неравенство
5π/2 < πk < 7π/2, k∈Z
или
5/2 < k < 7/2, k∈Z - неравенство верно при k=3
Значит х=π*3=3π - корень из первой серии ответов, принадлежащий указанному промежутку.
Составим второе неравенство
5π/2 < (5π/6))+2πn < 7π/2, n∈Z
или
5/2 < (5/6)+2n < 7/2, n∈Z
Умножим на 6
15 < 5 +12n < 21, n∈Z
или
10 < 12n < 16 - неравенство верно при n=1
Значит х=(5π/6)+2π= 17π/6 - корень из второй серии ответов, принадлежащий указанному промежутку.
Составим третье неравенство
5π/2 < (-5π/6))+2πn < 7π/2, n∈Z
или
5/2 < (-5/6)+2n < 7/2, n∈Z
Умножим на 6
15 < -5 +12n < 21, n∈Z
или
20 < 12n < 26 - неравенство верно при n=2
Значит х=(-5π/6)+2π*2= 19π/6 - корень из второй серии ответов, принадлежащий указанному промежутку.
Можно рассмотреть эти корни на единичной окружности.
О т в е т. б) 17π/6; 3π; 19π/6.