Задача 11671 Даны вершины треугольника АВС:...
Условие
Найти:
1) уравнения сторон (общие,с угловым коэффициентом,''в отрезках'');
2) уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины С;
3) угол при вершине В(cosB < 0, tgB < 0),
4) уравнение ,прямой, проходящей через точку А паралельно стороне BC;
5) Сделать чертеж; найти площадь треугольника АВС.
Решение
АВ
у=kx+b
Подставляем координаты точек А и В
-3=k*1+b
4=k*3+b
2k=7
k=3,5
b=-6,5
у=3,5х-6,5
7х-2у=13
(х/(13/7))-(у/6,5)=1
АС
у=kx+b
-3=k+b
-2=k*7+b
k=1/6
b=-3 целых 1/6
у=(1/6)х-(19/6)
х-6у=19
(х/19)-(у/(19/6))=1
ВС
у=kx+b
4=k*3+b
-2=k*7+b
4k=6
k=3/2
b=4-3k=4-(9/2)=-1/2
y=(3/2)x-(1/2)
3x-2y=1
x/(1/3)-y/(1/2)=1
2) координаты точки М- середины АВ
M((1+3)/2;(-3+4)/2)=M(2;1/2)
Уравнение медианы СМ
у=kx+b
-2=k*7+b b=-2-7k
-1/2=k*2+b
-1/2=k*2-2-7k
3/2=-5k
k=-3/10
b=-4,1
y=-0,3x-4,1
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1.
у=(10/3)х+b - уравнения прямых, перпендикулярных медиане СМ.
Подставляем координаты точки А
-3=(10/3)+b
b=-19/3
y=(10/3)x-(19/3) - уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины С
3) сos ∠B=vector{BA}*vector{BC}/|vector{BA}|*|vector{BC}|
vector{BA}={1-3;-3-4)=(-2;-7)
|vector{BA}|=sqrt((-2)^2+(-7)^2)=sqrt(53)
vector{BC}={7-3;-2-4)=(4;-6)
|vector{BC}|=sqrt(4^2+(-6)^2)=sqrt(52)
cos∠B=((-2)*(4)+(-7)*(-6))/sqrt(53)*sqrt(52)=
=34/sqrt(53)*sqrt(52)
Смежный с ним угол тупой и потому косинус его отрицательный. В условии задачи спрашивается про тупой угол
О т в е т. cos∠B= - 34/sqrt(53)*sqrt(52)
4) Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.
y=(3/2)x+b
Подставляем координаты точки А
-3=(3/2)+b
b=-4,5
y=(3/2)x-(9/2)
3x-2y-9=0 - уравнение прямой, параллельной ВС и проходящей через точку А
5) См. рисунок. Площадь треугольника легко найти, достроив его до прямоугольника со сторонами 6 и 7 и вычитая из площади прямоугольника площади трех прямоугольных треугольников.
S=6*7-(6*1/2)-(6*4/2)-(7*2/2)=42-3-12-7=20 кв. см