Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 11588 ...

Условие

Найти число корней уравнения (cosx+sin2x)/cos3x=1, принадлежащее отрезку [0;2π]

математика 10-11 класс 5291

Решение

(cosx+sin2x-cos3x)/cos3x=1.
По формуле разности косинусов:
cosx-cos3x=2sin(x+3x)/2sin(3x-x)/2=2sin2xsinx.
Уравнение принимает вид:
(2sin2xsinx+sin2x)/cos3x=0;
или
sin2x*(2sinx+1)/cos3x=0
При cos3x≠0 корни данного уравнения находятся из уравнений
sin2x=0 или 2sinx+1=0
1) sin2x=0.
2x=πk, k∈Z.
x=(π/2)*k, k∈Z.
Указанному промежутку [0;2π] принадлежит 5 корней:
0; π/2; π; 3π/2; 2π.
2) 2sinx+1=0
sinx=-1/2
x=(-π/6)+ 2πn, n∈Z или х=(π-(-π/6))+ 2πm, m∈Z .
Указанному промежутку [0;2π] принадлежит 2 корня:
7π/6; 11π/6
см. рисунок
3) cos3x≠0
3x≠(π/2)+ 2πs, s∈Z
Указанному принадлежат 6 [b]недопустимых[/b] точек:
π/6; π/2; 5π/6; 7π/6;3π/2; 11π/6, четыре из них {π/2; 7π/6;3π/2; 11π/6} входят в число решений уравнений 1) и 2). Исключаем их из множества решений.
0; π/6; 2π- корни данного уравнения, принадлежащие отрезку [0;2π]


Ответ: О т в е т. Уравнение имеет три корня на отрезке [0;2π]

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК