Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 11568 Решите неравенство...

Условие

Решите неравенство log(x)(sqrt(x^2+2x-3)+2)*log5(x^2+2x-2) больше или равно log(x)4

математика 10-11 класс 11976

Решение

ОДЗ: {x^2+2x-3 больше или равно 0
{x^2+2x-2 > 0
{x > 0, x≠1
ОДЗ: х > 1

Если х > 1, то log_(x)4 > 0
делим обе части уравнения на log_(x)4
и применяем формулу перехода к другому основанию
log_(x)t/log_(x)v=log_(v)t

log_(4)(sqrt(x^2+2x-3)+2)*log_(5)(x^2+2x-2) больше или равно 1

Замена
sqrt(x^2+2x-3)=t
x^2+2x=t^2+3
Неравенство принимает вид:
log_(4)(t+2)*log_(5)(t^2+1) больше или равно 1.
Обе функии слева возрастающие, их произведение - возрастающая функция.
Поэтому один корень t_(0) уравнения
log_(4)(t+2)*log_(5)(t^2+1)=1
обязательно есть.
Подбором находим, что t_(0)=2. Других корней нет. Возрастающая функция пересекается с прямой у=1 один раз.

Значит,
sqrt(x^2+2x-3) больше или равно 2
x^2+2x-3 больше или равно 4
x^2+2x-7 больше или равно 0
D=2^2-4*(-7)=4+28=32
x=(-2-4sqrt(2))/2=-1-2sqrt(2) или=(-2+4sqrt(2))/2=-1+2sqrt(2)
С учетом ОДЗ: получаем ответ
(-1+2sqrt(2);+бесконечность)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК