Б) Может ли разность кубов двух натуральных чисел равняться квадрату натурального числа?
В) Найдите все простые числа, каждое из которых равно разности кубов двух простых чисел.
10^2-6^2=4^3
64=64-верно.
Б) a^3-b^3=c^2
(a-b)*(a^2+ab+b^2)=c*c
Слева произведение двух множителей и справа произведение двух множителей.
Равенство возможно в следующих случаях
a-b=c
a^2+ab+b^2=c
Возводим первое равенство в квадрат, понимая, что при возведении возможно появление посторонних корней.
a^2-2ab+b^2=c^2
a^2+ab+b^2=c
Вычитаем
-3ab=c^2-c
Равенство невозможно, так как с^2-c > 0
Второй случай
a-b=1
a^2+ab+b^2=c^2
a=b+1
(b+1)^2+(b+1)b+b^2=c^2
3b^2+3b+1=c^2
Равенство возможно при отрицательных b, натуральных чисел нет
Cм. рисунок.
В) 3^3-2^3=19
Других пар нет, так как
a^3-b^3=c^2
(a-b)*(a^2+ab+b^2)=c^2
Равенство возможно при a-b=1
a=b+1
Нет простых чисел следующих одно за другим.
Так как среди двух следующих одно за другим натуральных чисел, одно обязательно четное.