Задача 11493 Решение иррациональных уравнений а)...
Условие
а) (x+2)sqrt(x^2-x-20)=6x+12
б) sqrt(x^2+x-2)+sqrt(x^2-4x+3)=sqrt(x^2-1)
Решение
{x^2-x-20 > 0
(x+2)*sqrt(x^2-x-20)-6(x+2)=0
(x+2)*(sqrt(x^2-x-20)-6)=0
x+2=0 или sqrt(x^2-x-20)-6=0
x=-2 или sqrt(x^2-x-20)=6
Возводим в квадрат
х^2-x-20=36
x^2-x-56=0
D=1-4*(-56)=225
x=(1-15)/2=-7 или х=(1+15)/2=8
Проверяем удовлетворяют ли корни ОДЗ:
при х=-2
(-2)^2-(-2)-20 > 0 - неверно. х=-2 не является корнем уравнения
при х=-7
(-7)^2-(-7)-20 > 0 верно
при х=8
8^2-8-20 > 0 верно.
О т в е т. х=-7; х=8
б) ОДЗ:
{x^2+x-2≥0
{x^2-4x+3≥0
{x^2-1≥0
x^2+x-2=(x+2)(x-1)
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
x^2-1=(x-1)(x+1)
{__+__ (-2) ______ (1) __+__
{________+________ (1)_______ (3) ___+
{______+____ (-1)__ (1)___+___
ОДЗ: x ∈(-∞;-2)U{1}U(3;+∞)
sqrt(x-1)*(sqrt(x+2)-sqrt(x-3)-sqrt(x+1))=0
sqrt(x-1)=0 или sqrt(x+2)-sqrt(x-3)-sqrt(x+1)=0
x-1=0 или sqrt(x+2)-sqrt(x-3)=sqrt(x+1)
х=1 или возводим в квадрат
x+2-2 sqrt(x+2)sqrt(x-3)+x-3=x+1
sqrt(x+2)sqrt(x-3)=x-1
Возводим в квадрат при условии, что х-1≥0, x ≥ 1
(x+2)(x-3)=(x-1)^2
x^2-x-6=x^2-2x+1
x=7
О т в е т. 1; 7
в) ОДЗ: x+2 > 0
x > -2
Замена переменной
sqrt(x+2)=t, t > 0
x+2=t^2
x=(t^2-2)
x^2=(t^2-2)^2
Уравнение принимает вид:
((t^2-2)^2/t) + (t^2-2)=2t Умножаем на t > 0
t^4-4t^2+4+t^3-2t^2-2t=0
t^4+t^3-6t^2-2t+4=0
t=2 корень уравнения, так как 2^4+2^3-6*2^2-2*2+4=0-верно, 16+8-24-4+4=0.
(t-2)*(t^3+3t^2-2)=0
t-2=0 или t^3+3t^2-2=0
t=2 или (t^3-1)+3(t^2-1)=0
(t-1)(t^2+t+1-t+1)=0
(t-1)(t^2+2)=0
t-1=0
t=1
Возвращаемся к переменной х:
sqrt(x+2)=1 или sqrt(x+2)=2
Вовзводим в квадрат
х+2=1 или х+2=4
х=-1 х=2
Оба корня принадлежат ОДЗ
О т в е т. -1;2
ж) Умножаем обе части уравнения на
sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5)
2x^2+3x+5-(2x^2-3x+5)=3x*(sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5)
или
6х=3x*(sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5)
или
(sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5)=2
Складываем полученное уравнение с данным
2*sqrt(2x^2+3x+5)=3х+2
Возводим в квадрат
4*(2x^2+3x+5)=9x^2+12x+4
x^2=16
x=-4 или х=4
х=-4 не удовлетворяет условию задачи, так как при х=-4 слева положительное число (сумма двух корней), а справа отрицательное 3*(-4)=-12
При х=4
sqrt(49)+sqrt(25)=12 - верно
О т в е т. х=4
з) ОДЗ:
{х+2≥0
{2-x≥0
{sqrt(2+x)-sqrt(2-x)≠0
{x ≠0
x∈[-2;0)U(0;2]
ОДЗ: x2
x*(sqrt(2+x)+sqrt(2-x))=2*(sqrt(2+x)-sqrt(2-x))
(x+2)*sqrt(2-x)=(2-x)sqrt(2+x)
Возводим в квадрат
(х+2)^2*(2-x)=(2-x)^2*(2+x)
(х+2)^2*(2-x)-(2-x)^2*(2+x)=0
(x+2)*(2-x)*(x+2-2+x)=0
x+2=0 или 2-х=0 или 2х=0
х=-2 х=2 х=0∉ОДЗ
О т в е т. -2; 2
г)
х+5-4sqrt(x+1)=(x+1)-4sqrt(x+1)+4=
=(sqrt(x+1)-2)^2
sqrt(х+5-4sqrt(x+1))=sqrt(((sqrt(x+1)-2)^2)=
=|sqrt(x+1)-2|
х+10-6sqrt(x+1)=(x+1)-6sqrt(x+1)+9=
=(sqrt(x+1)-3)^2
sqrt(х+10-6sqrt(x+1))=sqrt((sqrt(x+1)-3)^2)=
=|sqrt(x+1)-3|
Уравнение принимает вид
|sqrt(x+1)-2|+|sqrt(x+1)-3|=1
к)
ОДЗ:
{4x^2-1≥0
{4x-1≥0
или
{(2x-1)*(2x+1)≥0 _+_ [-1/2] __ [1/2] _+_
{4x≥1
х∈ [1/2; + бесконечность)
При x ≥ 1/2
фунцкия у=sqrt(4x^2-1) больше или равна 0
функция у=1-sqrt(4x-1) меньше или равна 0
Уравнение имеет один корень в случае
sqrt(4x^2-1)=0
и
1-sqrt(4x-1)=0
4x^2-1=0
x=1/2 х=-1/2 не входит в ОДЗ
О т в е т. х=1/2