Задача 11490 Решите...
Условие
2log8x=log82,5+log810
logx(2x^2+x-2)=3
log5(6-5^x)=1-x
x^(1+log3x)=9
system{log5(x+y)=1;log6x+log6y=1}
Решение
ОДЗ: x > 0
Применяем формулу логарифма степени:
2log_(8)x=log_(8)x^2
и суммы логарифмов
log_(8)2,5+log_(8)10=log_(8)25
Уравнение принимает вид:
log_(8)x^2=log_(8)25
x^2=25
x=5 или x=-5 - не принадлежит ОДЗ
О т в е т. х=5
44.12
ОДЗ:
{x > 0, x≠1
{2x^2+x-2 > 0
По определению логарифма
2x^2+x-2=x^3
(x^3-2x^2)-(x-2)=0
x^2*(x-2)-(x-2)=0
(x-2)(x^2-1)=0
x=2 или х=1 или х=-1
x=1; x=-1 не принадлежат ОДЗ, не выполняется первое неравенство.
х=2 удовлетворяет первому неравенству, проверим удовлетворяет ли второму
2х^2+x-2=2*2^2+2-2 > 0 - верно.
О т в е т. х=2
44.15
ОДЗ: 6-5^x > 0
Не решаем неравенство.
Проверим подстановкой удовлетворяют ли корни этому неравенству.
По определению логарифма
6-5^x=5^(1-x)
6-5^x=5*5^(-x)
Умножаем на 5^x > 0
6*5^x- (5^x)^2=5
Квадратное уравнение
5^x=t
t^2-6t+5=0
D=36-20=16
t=(6-4)/2=1 или t=(6+4)/2=5
5^x=1 или 5^x=5
x=0 или х=1
При х=0
6-5^0 > 0 - верно
6-5^1 > 0 - верно
О т в е т. х=0; х=1
4.17
ОДЗ:
х > 0
x≠1
Логарифмируем обе части неравенства по основанию 3
log_(3)(x)^(1+log_(3)x)=log_(3)9
Применяем свойства логарифма степени:
(1+log_(3)x)*log_(3)x=2;
Замена переменной:
log_(3)x=t
(1+t)*t=2
t^2-t-2=0
D=(-1)^2-4*(-2)=1+8=9
t=(1-3)/2=-1 или t=(1+3)/2=2
log_(3)x=-1 или log_(3)x=2
x=3^(-1) или x=3^2
x=1/3 или х=9
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. 1/3; 9
44.19
ОДЗ
{x > 0
{y > 0
По определению логарифма первое уравнение можно записать так:
(x+y)=5^1.
Сумма логарифмов равна логарифму произведения
и второе уравнение примет вид:
log_(6)xy=1
Получаем систему:
{x+y=5
{xy=6
Решаем систему способом подстановки
{y=5-x
{x*(5-x)=6
Решаем второе уравнение:
x^2-5x+6=0
D=25-24=1
x=(5-1)/2=2 или x=(5+1)/2=3
y=5-x=5-2=3 или у=5-х=5-3=2
Оба решения удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. (2;3) (3;2)