Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 11469 Вычислить интеграл (3x-4)/(9x^2-2)...

Условие

Вычислить интеграл (3x-4)/(9x^2-2) dx
dx/cos^2(4-3x)

математика ВУЗ 2711

Решение

1)
Запишем интеграл в виде разности двух интегралов.
∫(3х-4)dx/(9x^2-2)=∫3xdx/(9x^2-2) - 4∫dx/(9x^2-2)
Первый интеграл сводится к табличному интегралу
∫du/u
Второй
∫du/(u^2-a^2)
Считаем первый: полагая
9x^2-2=u получаем du=18xdx
У нас есть 3xdx
Умножаем на 6 и делим на 6
=(1/6)∫18xdx/(9x^2-2)=(1/6)∫d(9x^2-2)/(9x^2-2)=
=(1/6)*ln|9x^2-2|

Считаем второй
9x^2=u^2
3x=u
3dx=du dx есть, нет 3. Умножаем и делим на 3
a^2=2
a=sqrt(2)
=(4/3)∫3dx/((3x)^2-(sqrt(2))^2)=
=(4/3)∫d(3x)/((3x)^2-(sqrt(2))^2)=
=(4/3)*(1/2sqrt(2))*ln|(3x-sqrt(2))/(3x+sqrt(2))|=
=(sqrt(2)/3)*ln|(3x-sqrt(2))/(3x+sqrt(2))|.
1) О т в е т. (1/6)*ln|9x^2-2| +
+(sqrt(2)/3)*ln|(3x-sqrt(2))/(3x+sqrt(2))|+С.

2)
Применяем табличный интеграл
∫du/cos^2u=tgu+C
u=4-3x
du=-3dx
dx у нас есть нет (-3)
Умножаем и делим на (-3)
∫dx/cos^2(4-3x)=(-1/3)*∫(-3dx)/cos^2(4-3x)=
=(-1/3)∫d(4-3x)/cos^2(4-3x)=(-1/3)tg(4-3x)+C
2) О т в е т. (-1/3)tg(4-3x)+C

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК