Задача 11409 Все на картинке...
Условие
предмет не задан
786
Решение
★
Разложим функцию у = x^2 в ряд Фурье на [-π;π].
Функция четная. Раскладывается по косинусам.
Коэффициенты:
считаем на отрезке [-π;π], но в силу четности
берем 2∫ на [0;π]
Итак здесь и далее пределы у интеграла от 0 до π.
a_(0)=(2/π)∫^(π)_(0) x^2dx=(2/π)(x^3/3)|^(π)_(0)=
=(2/3)π^2
a_(n)=(2/π)∫^(π)_(0) x^2*cosnxdx= [два раза интегрируем по частям]=
=4*(-1)^(n+1)/n^2.
Разложение функции у=x^2 в ряд Фурье:
x^2=(1/3)*π^2+ 4*∑^(∞)_(n=1)(-1)^(n+1)cosnx/n^2
при х=π
π^2/6=∑^(∞)_(n=1)(1/n^2)