Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 11308 Решить показательные неравенства а)...

Условие

Решить показательные неравенства

а) (1/9)^(-sqrt(x^2-3))+3 < 28*3^(sqrt(x^2-3)-1)
б) 2^(x+3)-5^(x) < 7*2^(x-2)-3*5^(x-1)
в) x^2*2^x+4 > = x^2+2^(x+2)
г) sqrt(9^x-3^(x+2)) > 3^x-9
д) (sqrt(2)+1)^(6x-6/x+1) < = (sqrt(2)-1)^(-x)

математика 10-11 класс 4660

Решение

1.
ОДЗ: х^2-3 больше или равно 0;
х∈(-бесконечность; -sqrt(3))U(sqrt(3);+бесконечность)

3^(sqrt(x^2-3)-1)=3^(sqrt(x^2-3))*(3^(-1))=
=(1/3)*3^(sqrt(x^2-3))
Замена переменной:
3^(sqrt(x^2-3))=t
=(1/9)^(-sqrt(x^2-3))=(3^(-2))^(-sqrt(x^2-3))=
=(3^(sqrt(x^2-3)))^2 =t^2

Неравенство принимает вид
3t^2-28t+9 меньше или равно 0
D=28^2-4*3*9=784-108=676=26^2
t=(28+26)/6=9 или t=(28-26)/6=1/3
(1/3) меньше или равно t меньше или равно 9
(1/3) меньше или равно 3^(sqrt(x^2-3)) меньше или равно 9
3^(-1)меньше или равно 3^(sqrt(x^2-3)) меньше или равно 3^2
-1 меньше или равно sqrt (x^2-3) меньше или равно 2

Так как sqrt (x^2-3) больше или равно 0 при любом х из ОДЗ, то
sqrt (x^2-3) меньше или равно 2.
Возводим в квадрат
x^2-3 меньше или равно 4
x^2 меньше или равно 7

-sqrt(7) меньше или равно x меньше или равно sqrt(7)
С учетом ОДЗ получаем ответ
(-sqrt(7); -sqrt(3))U(sqrt(3); sqrt(7)).

2.
2^(x+3)-7*2^(x-2) < 5^x-3*5^(x-1)4;
2^x*(2^3 -(7/4)) < 5^x*(1-(3/5));
(2/5)^x < (2/5)^3
Показательная функция с основанием 0 < (2/5) < 1 убывающая, поэтому
x > 3
О т в е т. х∈(3;+ бесконечность).

3.
2^(x+2)+2^x меньше или равно 4;
2^x*(2^2+1)меньше или равно 4;
2^x меньше или равно (5/4);
x меньше или равно log_(2)(5/4).
О т в е т. x∈(-бескнечность; log_(2)(5/4)).
4.
ОДЗ:3^x-9 больше или равно 0
3^x больше или равно 9
x больше или равно 2

sqrt(3^x*(3^x-9)) > 3^x-9.
Возводим в квадрат
3^x*(3^x-9) > (3^x-9)^2
(3^x-9)*(3^x-3^x+9) > 0
3^x-9 > 0
3^x > 9
x > 2
О т в е т. х∈(2;+ бесконечность).
5.
(sqrt(2)+1)*(sqrt(2)-1)=1
Это взаимно обратные числа
sqrt(2)+1=1/(sqrt(2)-1)

Неравенство можно записать в виде:
(sqrt(2)+1)^((6x-6)/(x+1)) меньше или равно
(sqrt(2)+1)^x.
Так как основание показательной функции sqrt(2)+1 > 1, функция возрастает
(6х-6)/(x+1) больше или равно х
(6x-6-x^2-x)/(x+1) больше или равно 0
(x^2-5x+6)/(x+1) меньше или равно 0
(x-3)(x-2)/(x+1)меньше или равно 0
__-_ (-1) __+__[2]___-__[3]__+__

О т в е т. х∈(-бесконечность; -1)U[2;3].

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК