Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 11238 К окружности, вписанной в квадрат ABCD,...

Условие

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?

математика 10-11 класс 16309

Решение

a)По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
MF=ME;
NE=NG
Р(Δ АМN)=AM+MN+AN=AM+ME+EN+AN=AM+MF+NG+AN=AF+NG=
=(1/2)AB+(1/2)AD=AB=AD
б)Пусть радиус окружности равен R, тогда сторона квадрата равна 2R.
АМ=2R/3; BM=4R/3
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
ТЕ=ТQ;
МЕ=МF=(4R/3)-R=R/3
Пусть ТЕ=ТQ=x
Тогда ТВ=х-R; ТМ=х-(R/3).
По теореме Пифагора из треугольника ТВМ:
ТВ^2+ВМ^2=TM^2
(x-R)^2+(4R/3)^2=(x-(R/3))^2
24R^2/9=4Rx/3
x=2R
ТЕ=ТQ=2R
Из треугольника ТВМ
tg∠ BTM=BM/TB=4R/3/R=4/3
Из треугольника ТСР
СР=ТС*tg∠ BTM=4R

Δ РКС подобен ΔPOL
KC:OL=CP:LP
KC=R*4R/3R=4R/3
ТК=ТС-КС=3R-(4R/3)=5R/3
BK=TK-TB=(5R/3)-R=2R/3
BK:KC=2R/3:(4R/3)=1:2
О т в е т. 1:2

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК