Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 11237 ...

Условие

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=60° и BC=2.

математика 10-11 класс 23067

Решение

а)
АО=ОВ=ОТ=ОH=R
ВС=AB⇒ CQ=QD=R
OH=QD=R
∠OAH=∠OHA (Δ OAH - равнобедренный ОА=ОН=R)
∠OAH=∠QDH - углы при основании равнобедренной трапеции.
∠OHA=∠QDH - соответственные углы равны ⇒ OH|| QD.
HOQD- параллелограмм, две стороны которого OH и QD параллельны и равны.

б)Δ OAH - равносторонний, углы при основании 60 градусов ⇒ АН=R ⇒ AK=KH=R/2
Так как трапеция равнобдренная, то АН=FD=R
По теореме Пифагора
ОК=Rsqrt(3)/2

Δ ОАК подобен Δ OTD
OA:OQ=OK:OT
R:OQ=(Rsqrt(3)/2):R
OQ=2Rsqrt(3)/3

OQ- cредняя линия трапеции АВСD.

OQ=(BC+AD)/2=(2+2+2R)/2=2+R
Приравниваем и находим R
2+R=2Rsqrt(3)/3
R=6/(2sqrt(3)-3)
AD=2+2R=2+(12/(2sqrt(3)-3))=2+8sqrt(3)+12=8sqrt(3)+14
О т в е т. AD=8sqrt(3)+14.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК