Задача 11031 а) Найдите остаток от деления...

slava191

29.10.2016

а) Найдите остаток от деления 2013^(2014) на 5.

б) Найдите остаток от деления 2015^(2016) на 3.

в) Найдите остаток от деления 2010^(2011) на 17.

SOVA

30.10.2016

★

Ecли какое-то число a при делении на число b дает остаток d, то это можно записать в виде равенства
a=br+d
r- частное, d- остаток,
[b]1≤d < b[/b]
r - частное нас не интересует. И его не пишем.

Возводим в степень:
a^(n)=(br+d)^(n)
Справа все слагаемые кроме последнего содержат b ( или b в какой-то степени и потому кратны b)
Остаток от деления a^(n) на b равен остатку от деления d^(n) на n.

а) Найдите остаток от деления 2013^(2014) на 5.
2013:5= ( остаток 3)
Остаток от деления 2013^(2014) на 5 равен остатку от деления 3^(2014) на 5.
Представим 3^(2014) как (3^4)^(503)•3^2
Остаток от деления 3^4 на 5 равен 1 (81:5= остаток1)
Остаток от деления (3^4)^(503) равен 1^(503)=1
Остаток от деления 9 на 5 равен 4
О т в е т. 4

б) Найдите остаток от деления 2015^(2016) на 3.
2015:3= ( остаток 2)
Остаток от деления 2015^(2016) на 3 равен остатку от деления 2^(2016) на 3.
Представим 2^(2016) как (2^2)^(1008)
Остаток от деления 2^2 на 3 равен 1 (4:3= остаток1)
Остаток от деления (2^2)^(1008) равен 1^(1008)=1
О т в е т. 1

в) Найдите остаток от деления 2010^(2011) на 17.
2010:17= ( остаток 4)
Остаток от деления 2010^(2011) на 17 равен остатку от деления 4^(2011) на 17.
Представим 4^(2011) как (4^4)^(502)•4^3
Остаток от деления 4^4 на 17 равен 1 (256:17=... остаток 1)
Остаток от деления (4^4)^(502) на 17 равен 1 (256:17=... остаток 3)
Остаток от деления 4^3 на 17 равен 13 (64:17=... остаток 13)
О т в е т. 13