Задача 10966 Вычислить интеграл 1)...

vk263815599

28.10.2016

Вычислить интеграл

1) xdx/(sqrt(2x+1)+1
2) 1+4корень x/ 1+sqrt(x)
3) x+4/sqrt(2x^2-3x+5)
4) sqrt(9-x^2)dx

SOVA

02.11.2016

★

1)
Замена переменной
√2x+1=t,
возводим в квадрат
2х+1=t^2
x=(t^2–1)/2
dx=tdt
∫xdx/(√2x+1+1)=∫(t^2–1)tdt/2(t+1)=
=(1/2)∫t(t+1)dt=(1/2)∫(t^2+t)dt=
=(1/2)((t^3/3)+(t^2/2))+C=
=(1/6)t^3+(1/4)t^2+C, где t=√2x+1
2) Замена переменной
(x)^(1/4)=t ⇒ x=t^4; dx=4t^3dt
sqrt(x)=t^2

=∫(1+t)4t^3dt/(1+t^2)=
=4∫t^4+t^3)dt/(1+t^2)
Под знаком интеграла неправильная дробь.
Выделим целую часть.
Делим углом
=(t2+t–1)+ ((–t+1)/(t2+1))

4*∫t^4+t^3)dt/(1+t^2)=
=4*∫(t^2+t–1)dt+4*∫(–t/(t^2+1))dt+ 4*∫(1/(t^2+1))=
=4*(t^3/3)+4*(t^2/2)–4*t+4*(–1/2)*ln(t^2+1)+4*arctgt+C.
=(4/3)*t^3+2*t^2–4t–2ln(t^2+1)+4*arctgt + С
где t=x^(1/4).
3) Выделяем полный квадрат в знаменателе
2x^2-3x+5=2(x^2-1,5x+2,5)=2(x-0,75)^2+(31/8)
Замена переменной
х-0,75=t ⇒ x=t+0,75
dx=dt
∫(x+4)dx/sqrt(2x^2-3x+5)=∫(t+4,75)dt/sqrt(2t^2+(31/8))=(1/sqrt(2))*sqrt(t^2+31/16)+(4,75/sqrt(2))*ln|t+sqrt(t^2+(31/16))+C
t=x-0,75
4)
x=3sint
dx=3costdt
∫sqrt(9-x^2)dx=9∫cos^2t*dt=
=(9/2)*∫(1+cos2t)dt=
=(9/2)(t+sin2t/2))+C=
=[t=arcsin(x/3);
sin2t=2*(x/3)*sqrt(1-(x/3)^2)=
=(2x/9)sqrt(9-x^2)
О т в е т. (9/2)*arcsin(x/3)+xsqrt(9-x^2)+C.