Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 10938 Две окружности касаются внешним образом...

Условие

Две окружности касаются внешним образом в точке L. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй — в точке В. Прямая BL пересекает первую окружность в точке D, прямая AL пересекает вторую окружность в точке С.

а) Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника ALB, если известно, что радиусы окружностей равны 8 и 2.

математика 10-11 класс 13115

Решение

Пусть окружность с центром О касается прямой в точке А и R=OА=ОL=8. Окружность с центром P касается прямой в точке В и r= PВ=PL=2.
OP=10
В прямоугольной трапеции ОАВР находим высоту АВ:
АВ^2=10^2-(8-2)^2=10^2-6^2=8^2
AB=8.
а)
Проведем через точку L общую касательную к двум окружностям.
M- точка пересечения общей касательной с АВ.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки отрезки касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Значит АM=ML и ML=MB, тогда АM=MB.
LM - медиана ΔАВК и ML=АВ/2, значит ΔАВК прямоугольный (угол АКВ - прямой)
Следовательно, прямые АС и BD пересекаются под прямым углом, значит вписанные углы АLD и ВLС равны 90° и опираются на диаметры.
АD и ВС - это диаметры окружностей.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, тогда АD ⊥АВ, ВС⊥АВ АD || ВС
б) Диаметры АD=16, ВС=4
Прямоугольные ΔАLD и ΔСLВ подобны по острому углу (∠DАL=∠ВСL как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АD и ВС и секущей АС).
Значит АL/LС=DL/LВ=АD/ВС=16/4=4 ⇒DL=4LB
AL- высота прямоугольного треугольника DAB
AL^2=DL•LB
AL^2=4LB•LB ⇒ AL=2LB

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
ALB:
AL^2+LB^2=AB^2
4LB^2+LB^2=8^2
LB^2=64/5
S(Δ ALB)=AL•LB/2=2LB•LB/2=LB^2=64/5=12,8
О т в е т. S(Δ ALB)=12,8

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК