Задача 10895 Найти предел Lim(- > 0) ((5tg^2)*(x/2))...
Условие
математика ВУЗ
1402
Решение
★
lim_(x→ 0) sin(x/2)/(x/2)=1 - первый замечательный предел.
lim_(x→ 0) sin^2(x/2)/(x/2)^2=1
lim_(x→ 0)(1/ cos(x/2))=1/1=1
Умножим в знаменателе на 4 и разделим, чтобы выделить аргумент (х^2/4)
lim_(x→ 0) (5tg^2(x/2)) / 4(x^2/4)=
=lim_(x→ 0) (sin^2(x/2)) / (x^2/4)·lim_(x→ 0) (5 / (4cos^2(x/2))=5/4
Можно применять таблицу эквивалентности
(tg(x/2))~ (x/2) при x→ 0
Тогда
lim_(x→ 0) (5tg^2(x/2)) / (x^2)=
lim_(x→ 0) (5(x/2)^2) / (x^2)=5/4
О т в е т. 5/4