Задача 10862 Решите систему уравнений...
Условие
sytem{(x^2-x)(y^2-y)=72;(x+1)(y+1)=20}
Сколько получилось решений таких,что x и y -рациональные числа?
Решение
{(x+1)(y+1)
{xy(xy-x-y+1)=72
{xy+x+y+1=20
замена переменных
хy=u
x+y=v
{u(u-v+1)=72
{u+v+1=20
Выражаем v=20-u-1 и подставляем в первое уравнение
u(u-(20-u-1)+1)=72
u(2u-18)=72
u(u-9)=36
u^2-9u-36=0
D=81+144=225
u=12 или u=-3
тогда
v=7 или v=22
Обратная замена
xy=12
x+y=7
xy=-3
x+y=22
Решаем каждую систему способом подстановки
y=7-x
x(7-x)=12
x^2-7x+12=0
D=49-48=1
корни х=4 или х=3
у=7-4=3 или y=7-3=4
у=22-х
х(22-х)=-3
х^2-22x-7=0
D=484+28=512.
Число 456 -иррациональное, корни иррациональные.
О т в е т. Уравнение имеет два решения (3;4) и (4;3), такие, что х и у - натуральные, а значит, целые и значит рациональные.