Задача 10857 Решите уравнение |12x|=4x|25x|...
Условие
Решение
1) оба подмодульных выражения положительны
2) оба подмодульных выражения отрицательны
3) первое подмодульное выражение положительно, второе отрицательно
4) первое подмодульное выражение отрицательно, второе положительно.
Одна из четырех систем не будет иметь решения. А именно та, при которой 1-2х < 0 а 2-5х > 0
Так как множества x > 1/2 и х < 2/5 не пересекаются
Поэтому рассматривают сразу только три случая.
Для этого применяют метод интервалов.
Подмодульные выражения 1-2х и 2-5х обращаются в 0 в точках х=1/2 и х=2/5
Эти точки разбивают числовую прямую на 3 промежутка.
Раскрываем знак модуля на каждом
1) x меньше или равно 2/5
|1-2х|=1-2x и |2-5x|=2-5x ( при х=0 устно считаем, что первое выражение равно 1, второе 2, оба подмодульных выражения положительны, значит и на всем промежутке положительны)
Уравнение принимает вид:
1-2х=4х-(2-5х)
1-2х=4х-2+5х
-7х=-3
х=3/7
3/7 > 2/5 так как 15/35 > 14/35
Уравнение не имеет корней.
2)2/5 < x меньше или равно 1/2
|1-2x|=1-2x
|2-5x|=-2+5x
Уравнение
1-2х=4х-(-2+5х)
1-2х=4х+2-5х
-х=1
х=-1
-1 не принадлежит интервалу (2/5; 1/2)
нет корней
3) х > 1/2
|1-2x|=-1+2x
|2-5x|=-2+5x
-1+2x=4x-(-2+5x)
-1+2x=4x+2-5x
3x=3
x=1
1 > 1/2
О т в е т. х=1
Все решения
1+2=4х-5х+2х
3=х
2) -(1-2х)=4х+2-5х
2х-4х+5х=2+1
3х=3
х=1
Ответ: х1=3, х2=1