Задача 10765 Имеется пять палочек с длинами 2, 3, 4,...
Условие
а) Можно ли, используя все палочки, сложит равнобедренный треугольник?
б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?
в) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя)
Решение
а)Сумма длин палочек 2+3+4+5+6=20.
Значит периметр треугольника 20.
Возможны варианты:
одна сторона 2; две другие 9
одна сторона 4; две другие 8
одна сторона 6; две другие 7
одна сторона 8; две другие 6
Других вариантов нет ( треугольник 10; 5 и 5 - вырождается в отрезок).
Теперь проверяем как получить такие стороны, используя имеющиеся палочки
2; 9=4+5; 9=3+6
4; 8=3+5; 8=2+6
6; 7=2+5; 7=3+4
8=3+5; 6; 6=2+4
О т в е т. да, 4 варианта равнобедренных треугольников.
б) По теореме, обратной теореме Пифагора,
если
a^2+b^2=c^2, то треугольник АВС - прямоугольный.
Треугольники со сторонами
2; 3; 4+5+6
2; 4; 3+5+6
2; 5; 3+4+6
2; 6; 3+4+5
не существуют.
Не выполняется неравенство треугольника.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
Стороны больше, чем 10 быть не может
Проследив за квадратами,
2^2=4
3^2=9
4^2=16
5^2=25
6^2=36
7^2=49
8^2=64
9^2=81
Только 3^2+4^2=5^2 но при этом не все палочки использованы.
О т в е т. Нет.
в) S=sqrt(p•(p-a)(p-b)(p-c)
p=10
Наименьшее значение S при наименьшем значении произведения
10•(10-a)(10-b)(10-c)
Ясно, что каждая сторона меньше 10
при a=b=9; c=2 произведение
10•(10-9)•(10-9)•(10-2)=80 - наименьшее значение
при a=9;b=8; c=3 произведение
10•(10-9)•(10-8)•(10-3)=140
произведение увеличивается
при a=9;b=7; c=4 произведение
10•(10-9)•(10-7)•(10-4)=180
произведение увеличивается.
О т в е т. Равнобедренный треугольник 2;9;9 имеет наименьшую площадь.
