Задача 10764 Найдите все а, при каждом из которых...
Условие
system{sqrt((x-3)^2+(y-2)^2)+sqrt((x-6)^2+(y-2)^2)=3;(x-a)^2+(y+2a-8)^2=a-3}
имеет ровно одно решение.
Решение
Второе слагаемое первого уравнения- расстояние от точки М(х;у) до точки В(6;2)
Первое уравнение означает, что сумма расстояний от точки М до точки А и от точки М до точки В равна 3.
Найдем расстояние АВ=sqrt((6-3)^2+(2-2)^2)=3.
Это означает, что точка М лежит на отрезке АВ, причем именно внутри отрезка АВ(если вне отрезка, то сумма расстояний больше 3).
Второе уравнение представляет из себя окружность с центром в точке С(a; 8-2a) и радиусом r^2=a-3.
Система имеет ровно одно решение, если окружность пересекается с отрезком АВ в одной точке.
Это означает, что СА≤r≤CВ
или
CA^2≤r^2≤СВ^2.
Система:
{(a-3)^2+(8-2a-2)^2≤a-3;
{(a-6)^2+(8-2a-2)^2≥a-3.
{5a^2-31a+48≤0;
{5a^2-37a+75≥0
5a^2-31a+48=0
D=(-31)^2-4•5•48=961-960=1
a_(1)=3 a_(2)=3,2
3≤а≤3,2
5a^2-37a+75=0
D=(-37)^2-4•5•75=1396-1500 < 0
5a^2-37a+75≥ при любом а.
О т в е т. [3;3,2]