Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 10758 Дано уравнение sin3x=sin2x+sinx а)...

Условие

Дано уравнение sin3x=sin2x+sinx

а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5Pi; 13Pi/2]

математика 10-11 класс 17935

Решение

По формуле
sin2α=2sinαcosα
sin3x=2sin(3x/2)cos(3x/2)

По формуле
sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)

sin2x+sinx=2sin((2x+x)/2)cos((2x-x)/2)=
=2sin(3x/2)cos(x/2)

Уравнение принимает вид:
2sin(3x/2)cos(3x/2)=2sin(3x/2)cos(x/2)
или
2sin(3x/2)cos(3x/2) - 2sin(3x/2)cos(x/2)=0
2sin(3x/2)(cos(3x/2) - cos(x/2))=0
Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен, а другой при этом не теряет смысла.
1)sin(3x/2)=0 (3х/2)=πk, k∈Z
x=(2π/3)k, k∈Z
или
2)cos(3x/2) - cos(x/2)=0
По формуле
сosα - cosβ= -2sin((α+β)/2)sin(((α-β)/2)
cos(3x/2)-cos(x/2)=-2sin2x* sin(x/2)
2) принимает вид
-2sin2x sin(x/2)=0
sin2x=0 ⇒х=(π/2)n, n∈Z.

sin(x/2)=0 ⇒ х/2= πm, m∈Z ⇒ х= 2πm, m∈Z


О т в е т. x=(2π/3)k, х= (π/2)n, ,n, m∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни:
5π; 16π/3; 6π см. рисунок.

О т в е т. 5π; 16π/3; 11π/2; 6π; 13π/2

Вопросы к решению (1)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК