Задача 10713 Найти наибольшее значение функции...
Условие
Решение
{12-x больше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 12
{x-2 больше или равно 0 ⇒ х больше или равно 2
D(y)=[2;12]
Найдем производную:
y`=(3·sqrt(12–x)+sqrt(x–2))`=
=3(sqrt(12–x))`+(sqrt(x-2))`=
=3·(12-x)`/(2·sqrt(12–x))+1/(2·sqrt(x-2))=
=1/(2·sqrt(x-2))-3/(2·sqrt(12–x)).
y`=0.
1/(2·sqrt(x-2))-3/(2·sqrt(12–x))=0.
{sqrt(12–x)-3·sqrt(x-2)=0;
{sqrt(12–x)≠0;
{sqrt(x-2)≠0.
sqrt(12–x)=3·sqrt(x-2)
Возводим в квадрат
12-х=9(х-2)
12-х=9х-18
12+18=9х+х
30=10х
х=3
х=3 - точка максимума функции, потому что при переходе через эту точку производная данной функции меняет знак с + на -.
[2]__-__ (3) ______+_________[12]
y(3)=3·sqrt(12–3)+sqrt(3–2)
y(3)=3·3+1=10
О т в е т. y(наиб)=у(3)=10