Задача 10707 В двух областях есть по 250 рабочих,...

slava191

22.10.2016

В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

SOVA

23.10.2016

★

В каждой области в сутки вырабатывают 250•5=1250 человеко-часов.
На первом заводе 1 рабочий за 1 час добывает 0,2 кг алюминия,значит на добычу 1 кг алюминия тратится 5 человеко-часов.
250 рабочих за 5 часов добывают 1250:5=250 кг алюминия.

На первом заводе 1 рабочий за 1 час добывает 0,1 кг никеля,значит на добычу 1 кг никеля тратится 10 человеко-часов.
250 рабочих за 5 часов добывают 1250:10=125 кг никеля.

Алюминий добывать выгоднее.

Пусть на втором заводе в сутки добывают х кг алюминия и у кг никеля.
На выработку алюминия тратится х^2 человеко-часов и на выработку никеля тратится у^2 человеко-часов.
Общее количество затраченных при этом человеко-часов равно 1250.
Уравнение:
х^2+y^2=1250.

Общая масса добытого металла
f(x;y)=x+y.
Заменим у на sqrt(1250-x^2)
Найдем наибольшее значение функции
f(x)=x+ sqrt(1250-x^2) на [0; sqrt(1250)].
f`(x)=1+(1/2sqrt(1250-x^2))•(-2x);
f`(x)=1-(x/sqrt(1250-x^2));
f`(x)=0
sqrt(1250-x^2)=x.
Возводим в квадрат
1250-x^2=x^2;
x^2=625
x=25
На [0; sqrt(1250)] х=25 является точкой максимума, так как производная меняет знак с + на -.
f`(15)=1-(15/sqrt(1025)) > 0
f`(30)=1-(30/sqrt(350)) < 0

f(25)=25+sqrt(1250-25^2)=25+sqrt(1250-625)=
=25+sqrt(625)=25+25=50 кг - наибольшее количество металла, которое можно добыть за сутки во второй области.
А в первой области наибольшее количество металла - 250 кг алюминия.
Суммарное количество
S=250+50=300 кг
О т в е т. 300 кг

u821511235

21.03.2018

Так как в первой области за 1 час больше добывают алюминия, то алюминий добывать выгоднее. За сутки в первой области будет добыто металла: 0,2*20*50=250 кг.
Во второй области каждый день будет вырабатываться 250*5=1250 человеко-часов, т.е. х^2 + у^2 = 1250. За это время будет добыто металлов (х + у) кг.
Так как х и у – натуральные числа и х^2 + у^2 = 1250, то возможны следующие значения:
х=25, у=25 и х+у=50,
х=5, у=35 или х = 35, у = 5 и х+у=40,
х=17, у= 31 или х = 31, у = 17 и х+у=48.
Наибольшее количество металлов, добытое во второй области, 50 кг.
Значит, всего в двух областях будет добыто 250+50=300 кг металлов.

Ответ: 300 кг