Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 10690 Найдите все значения а, при каждом из...

Условие

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |10*0,2^(1-x)-a| - |5^x+2a| = 0,04^(-x) имеет ровно два неотрицательных решения.

математика 10-11 класс 12948

Решение

Перепишем уравнение в виде
|2•5^x–a|–|5^x+2a|=(5^2)^x
Сделаем замену переменной.
5^x=t > 0
Уравнение примет вид
|2t–a|–|t+2a|=t^2
Применяем координатно–параметрический метод.
Раскрываем модули.
1) Подмодульные выражения обращаются в 0
при 2t–a=0 ⇒ t=a/2
при t+2a=0 ⇒ t=–2a
Прямые t=a/2 и t=–2a разбивают координатную плоскость аОt на 4 области.
При этом 2t–a положительно в 1 и 2
t+2a положительно в 1 и 4.
Раскрываем знаки модуля в каждой области
1 область
2t–a–t–2a=t^2 ⇒ a=(–t^2+t)/3
парабола зеленого цвета, оставлена только та ее часть, которая расположена в области 1.
Вершина параболы в точке t=1/2 a=1/12
2 область
2t–a+t+2a=t^2 ⇒ a=t^2–3t
парабола сиреневого цвета, оставлена только та её часть, которая принадлежит области 2.
Вершина в точке t=3/2; a=–9/4
3 область
–2t+a+t+2a=t^2 ⇒ a=(t^2+t)/3
4 область
–2t+a–t–2a=t^2 ⇒ a=–t^2–3t

Поскольку показательное уравнение
5^x=t имеет положительный корень, если t > 1, то
при a∈(–9/4;–2] данное уравнение будет иметь ровно два неотрицательных корня.
При этих значениях прямая параллельная оси Ot (красного цвета)будет иметь ровно две точки пересечения с соответствующей параболой.
О т в е т. a∈(–9/4;–2]

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК