Задача 10683 Три различных натуральных числа являются...
Условие
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 3/2?
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 5/4?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?
Решение
Согласно «неравенству треугольника» каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
c < a+b - условие (1)
По теореме косинусов
c^2=a^2+b^2-2abcos ∠C ⇒
так как угол С- тупой, косинус тупого угла отрицательный, поэтому сумма трех положительных чисел больше сумма первых двух.
c^2 > a^2+b^2 – условие (2)
a) найдем такие с и a, что с/a=3/2
c-наибольшая, a – наименьшая сторона.
Третья сторона a < b < c.
Пусть с=15; a=10; b=11
Проверяем первое условие b+a > c: 11+10 > 15 – верно
Проверяем второе условие c^2 > a^2+b^2: 225 > 100+121 - верно.
О т в е т. с=15; a=10; b=11 с/a=15/10=3/2
б) найдем такие с и a, что с/a=5/4
c-наибольшая, a – наименьшая сторона.
Пусть с=10; b=8; a=9
Проверяем первое условие b+a > c: 8+9 > 10 – верно
Проверяем второе условие 100 > 64 + 72 - неверно.
Покажем, что нет таких натуральных чисел, которые могли быть сторонами данного треугольника.
Обозначим с/a=5k/4k , k- натуральное
c=5k a=4k
4k < b < 5k ⇒ b достаточно взять от 4k+1 до 5k-1.
Пусть b - наименьшее из возможных b = 4k+1
Чтобы выполнялось второе условие c^2 > a^2+b^2:
(5k)^2 > (4k)^2+(4k+1)^2 ⇒ 7k^2+8k+1 < 0
Неравенство имеет решение на множестве (1/7;1).
Что не удовлетворяет условию к- натуральное
О т в е т. Нет таких натуральных чисел.
в) найдем наименьшее с/a, если b=18
c-наибольшая, a – наименьшая сторона. c > 18, a < 18.
Для того чтобы отношение (дробь) было наименьшим, знаменатель должен быть наибольшим.
Выберем a =17 > 18 – это наибольшее натуральное число из возможных.
Из условия c^2 > a^2+b^2 ⇒ c^2 > 17^2+18^2=289+324=613, √613 ≈24,75
c=25
О т в е т. с/а= 25/17.
