Задача 10653 Конечная последовательность...

slava191

19.10.2016

Конечная последовательность a1,a2,...,a_(n) состоит из n больше или равно 3 не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных k меньше или равно n-2 выполнено равенство a_(k+2) = 2a_(k+1)-a_(k)-1.

а) Приведите пример такой последовательности при n = 5, в которой a_(5) = 4.

б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

в) При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из трёхзначных чисел?

SOVA

29.10.2016

★

a_(k+2) = 2a_(k+1)–a_(k)–1.
а) n=5
k ≤ n–2 ⇒ k ≤ 5-2 ⇒ k ≤ 3
k=1
a_(3) = 2a_(2)–a_(1)–1.
k=2
a_(4) = 2a_(3)–a_(2)–1=2•(2a_(2)–a_(1)–1)-a_(2)–1=
=4a_(2)-2a_(1)-2-a_(2)-1=3a_(2)-2a_(1)-3
k=3
a_(5) = 2a_(4)–a_(3)–1=2•(3a_(2)-2a_(1)-3)- (2a_(2)–a_(1)–1)-1=6a_(2)-4a_(1)-6-2a_(2)+a_(1)+1-1=
=4a_(2)-3a_(1)-6

a_(5)=4
значит
4a_(2)-3a_(1)-6=4
или
4a_(2)-3a_(1)=10
Равенство возможно при a_(1)=2; a_(2)=4
4a_(2)-3a_(1)=4•4-3•2=10
Тогда
а_(3)=5; а_(4)=5; а_(5)=4; а_(6)=2
Следующие члены последовательности отрицательные, не являются натуральными.
а) О т в е т. да.
б) Можно проследить закономерность и написать формулу общего члена этой последовательности.
a_(k+2) = (k+1)a_(2)–ka_(1)–(1+2+...k).

Два элемента могут быть равны.
Пусть
a_(1)=a_(2), тогда
a_(3)=a_(2)-1
a_(4)=a_(2)-3
a_(5)=a_(2)-6
как видим последовательность уменьшается и наступит такой момент, когда ее следующие элементы не будут
существовать, так как они отрицательны.
см. предыдущий пример.
a_(3)=a_(4)
но а_(6)- последний элемент последовательности.

в) Все элементы последовательнсти, начиная с первого и до последнего - трехзначные числа:
{100 ≤ a_(1) ≤999
{100 ≤ a_(2) ≤999
{100 ≤ a_(k+2) ≤999
Заменим a_(k+1) на (k+1)a_(2)–ka_(1)–(1+2+...k)

100≤(k+1)a_(2)–ka_(1)–(1+2+...k)≤999

1+2+...+k=(1+k)k/2

Пусть a_(1)=100 - наименьшее трехзначное число.
При a_(1)=997; a_(2)=998 получим
a_(44)=137
a_(45)=95 не трехзначное.
О т в е т. n=44