Задача 10552 Какое наибольшее значение может...

sinka1

15.10.2016

Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:
{ tgx=90/19cosy
tgy=90/19cosz
tgz=90/19cosx

SOVA

03.12.2016

★

Перепишем систему в виде:
{sinx=(90/19)cosx•cosy
{siny=(90/19)cosy•cosz
{sinz=(90/19)cosx•cosz

Возведем в квадрат:
{sin^2x=(8100/361)cos^2x•cos^2y
{sin^2y=(8100/361)cos^2y•cos^2z
{sin^2z=(8100/361)cos^2x•cos^2z

Заменим sin^2x=1–cos^2x и для упрощения записей введем обозначения
cos^2x=t, t ≥ 0 ; cos^2y=u, u≥ 0; cos^2z=v, v ≥ 0.
Cистема принимает вид:
{1–t=(8100/361)ut;⇒{t=361/(8100u+361);
{1–u=(8100/361)uv;⇒{u=361/(8100v+361);⇒ v=(361–361u)/8100u
{1–v=(8100/361)vt. ⇒{v=361/(8100t+361).

Подставляем найденные t и v в третье уравнение:
(361–361u)/8100u=361/(8100*((361/(8100u+361))+361);
8100u^2+361u-361=0
D=361^2–4·8100·(–361)=361·(361+32400)=
=361·32761=(19·181)^2=3439^2
u=(–361-3439)/16200 < 0 не удовл. условию u≥0
u=(-361+3439)/16200=19/100
v=19/100
t=19/100

Итак,
сosx=±√19/10; cosy=±√19/10; cosz=±√19/10;
sinx=±9/10; siny=±9/10; sinz=±9/10.

Выразим
sin(x+y+z)=sin(x+y)cosz+cos(x+y)sinz=
=sinx•cosy•cosz+cosx•siny•cosz+cosx•cosy•sinz–sinx•siny•sinz.
|sin(x+y+z)|=|(±9/10)•(±√19/10)•(±√19/10)+(±9/10)•(±√19/10)•(±√19/10)+(±9/10)•(±√19/10)•(±√19/10)–(±19/10)•(±19/10)•(±19/10)|=
=|(9/10)•((19/100)–19/100)+(19/100)+(81/100))|=(9/10)•1=9/10